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軌跡、交點與座標證明

軌跡是由一條關於距離的規則所描述的圖形——而整個這一階的偉大訣竅在於：規則化為方程式，方程式化為曲線，兩條曲線相交化為一個你能解的方程組。本篇就放手運用這整套機制：我們從零開始找出軌跡，讓直線與圓相交，並且只用座標與代數，證明貨真價實的幾何定理。

軌跡是一條會畫出圖形的規則

想像一下：在地板上釘住一個點 F，然後問：哪些位置恰好離它 3 公尺？把這些位置走一遍，你便描出一個圓。這個集合——所有服從某一條件、且唯有它們的點——就是軌跡。這個詞在拉丁文裡不過是「位置」之意，而這個想法正是整個這一階的靈魂：一個幾何圖形不外乎就是通過某項測試的那些點的集合。在前面幾階裡，圓是一條畫出來的曲線；在這裡，它則重生為一個關於距離之問題的答案。

奇妙之處在於，這項測試能翻譯成代數。「離 F 的距離等於 3」透過你在第二篇掌握的距離公式，化為方程式 (x - a)^2 + (y - b)^2 = 9——這正是第四篇裡的圓方程式。所以軌跡是一個關於點的條件；方程式是同一個條件以座標寫出；而曲線則是兩者共同描述的那幅圖像。同一件事的三張面孔。一旦你相信了這點，找出一條曲線就不再是畫圖——而是讀一句關於距離的話，再用距離公式把它抄下來。

從零推導一條軌跡：垂直平分線

讓我們親手造一條。固定兩點 A 與 B，問：哪些點 P 與它們等距——到 A 的距離等於到 B 的距離。純就幾何而言，你早從前面某一階知道答案：那是線段 AB 的垂直平分線。座標幾何令人興奮之處，就在於看著那個古典事實毫無圖形地、僅僅靠寫下條件 |PA| = |PB| 並讓符號自行運作，便從代數中掉了出來。

  1. 放 A = (1, 2)、B = (5, 4)，並設 P = (x, y) 是服從規則的一般點。
  2. 用距離公式寫下 |PA| = |PB|，再把兩邊平方以消去根號：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2。
  3. 把兩邊展開。x^2 與 y^2 兩項在左右兩邊一模一樣地出現，於是相消——這個相消正是關鍵所在，也正是軌跡最後竟是一條直線的原因。
  4. 剩下的是一次式：-2x - 4y + 5 = -10x - 8y + 41，整理為 8x + 4y = 36，亦即 2x + y = 9。
  5. 驗證：AB 的中點是 (3, 3)，而 2(3) + 3 = 9 成立，故中點落在線上。此線的斜率是 -2，而 AB 的斜率是 1/2，且 (-2)(1/2) = -1——垂直，正如其名所許諾。

看看剛才發生了什麼：一個關於距離的條件產生了一條直線，而這條線恰好垂直地穿過 AB 的中點。我們並未假設這些之中的任何一項——是代數逼出了它。這正是此方法特有的樂趣：你陳述一條規則，你輾磨那些符號，而一個你從綜合幾何裡只記得一半的定理便被證明地浮現，而非僅僅被回想起來。

交點：兩條曲線達成一致之處

如果一條曲線是滿足某一方程式的點集，那麼兩條曲線相交之處，便是同時滿足兩個方程式的點集。這就是交點的全部想法：把這兩個方程式當作一個聯立方程組來解，而每一組解 (x, y) 都是一個交點。兩條直線是最簡單的情形——一個二元一次方程組——而你早已知道三種結局：唯一解（相交）、無解（平行，永不相遇）、或無窮多解（同一條線重複兩次）。幾何與代數完美一致，因為一組解就是一個共有的點。

更豐富的情形是直線遇上圓，而這裡代數會告訴你眼睛無法保證的事。把直線代入圓的方程式，你總是落在某一變數的一個二次方程上。一個二次方程至多有兩個實根，而這個數目由它的判別式決定：兩個根表示這條線是把圓切兩次的割線；一個重根表示這條線是切線，在單獨一點輕觸；而沒有實根則表示這條線完全沒碰到圓。判別式替你做了幾何——它在你還沒畫任何東西之前，就數好了交點的個數。

Intersect the line  y = x + 1  with the circle  x^2 + y^2 = 25.

Substitute y = x + 1 :
    x^2 + (x + 1)^2 = 25
    2x^2 + 2x + 1   = 25
    2x^2 + 2x - 24  = 0
    x^2 +  x - 12   = 0
    (x + 4)(x - 3)  = 0      ->   x = -4  or  x = 3

Back-substitute into y = x + 1 :
    x = -4  ->  P = (-4, -3)
    x =  3  ->  Q = ( 3,  4)

Two real roots  ==  a SECANT, cutting the circle at P and Q.
(One repeated root would be a tangent; no real root, a clean miss.)
代入、化為二次方程、讀出根——實根的個數就是交點的個數。

座標證明：以代數了結幾何

現在來到這一階的回報。一個座標證明取一個尋常幾何的定理，把圖形放到座標平面上，然後以計算而非一連串綜合步驟來了結它。其藝術在於佈置：把圖形擺得讓它的座標盡可能乾淨，因為一個聰明的座標軸選擇，能把一個可怕的證明變成一行代數。關鍵在於，這個擺放必須維持一般性——你可以運用平面的自由度來釘住位置與方向，但你絕不可暗中假設了你正試圖證明的那件事本身。

取一個著名的：任意四邊形四條邊的中點構成一個平行四邊形（凡是利定理）。綜合地證它需要用中線段的想法兩次；用座標則幾乎令人難為情。把四個頂點放在 A = (0, 0)、B = (2b, 0)、C = (2c, 2d)、D = (2e, 2f)——那些 2 是個俐落的小技巧，好讓中點不帶分數地算出。各邊中點為 P = (b, 0)、Q = (b + c, d)、R = (c + e, d + f)、S = (e, f)。現在算從 P 到 Q 的向量與從 S 到 R 的向量：兩者都等於 (c, d)。對邊相等且平行——那就是一個平行四邊形。完成，而且它對每一個四邊形都成立，因為我們從未對 b、c、d、e、f 假設任何特別之處。

這一階悄悄給了你什麼

退一步，看看整個這一階的形狀。一張格線讓幾何與代數共享同一種語言；距離、中點與斜率變成了公式；直線與圓變成了方程式。這最後一篇把這個迴圈合攏，讓方程式反過來做幾何：軌跡是化為曲線的規則，交點是你要解的方程組，而座標證明以計算了結一個定理。笛卡兒在一六三零年代的洞見恰恰就是這個——幾何的平面與方程式的代數，是同一個世界的兩種看法——而你如今已在三個方向上都用過它了。

不過要誠實面對它的限度，因為正是這份誠實帶你登上階梯。座標方法強大，卻不總是優雅的路線——一個俐落的綜合證明可能比一頁代數更短、更具啟發性，而選對工具本身就是一門功夫。而且平面只是個開端。同樣這套機制——點作為數組、距離作為公式、圖形作為方程式——延伸到三維乃至更高維，在那裡它長成向量，最終長成那為整道階梯加冕的彎曲空間與深刻定理。你剛剛學會的是一部辭典；上面各階則展示它能訴說多少。