一句話變成一條方程式
在幾何所有形狀裡，圓的定義最為誠實：圓 是所有與某一固定點——圓心 C——相距某一固定距離——半徑 r——的點所成的集合。整個故事就這樣。沒有特殊的方向，沒有角，邊緣上也沒有哪個點享有特權；這個定義對每個邊界上的點一視同仁。座標幾何的工作，不過是把這一句話用 x 與 y 的語言寫出來，而本梯級稍早的 距離公式 就是我們唯一需要的工具。
把圓心放在 C = (h, k)，讓 P = (x, y) 是我們要檢驗的任意點。P 落在圓上，恰好就在它與 C 的距離等於 r 的時候。距離公式說那個距離是 sqrt((x - h)^2 + (y - k)^2)，所以條件就是 sqrt((x - h)^2 + (y - k)^2) = r。兩邊平方消去根號，圓的方程式就以它標準而漂亮的形式現身：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。這就是 圓的方程式，而你會注意到它不過是 畢氏定理 的化身——水平差 (x - h) 與垂直差 (y - k) 是一個直角三角形的兩股，而它的斜邊固定為 r。
讀出圓，也造出圓
標準式之所以美妙，是因為它把意義寫在臉上：瞥一眼 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，你就毫不費力地讀出圓心 (h, k) 與半徑 r。方程式 x^2 + y^2 = 25 是最簡單的情形——圓心 (0, 0)、半徑 5——這個圓端正地坐在 笛卡兒平面 的原點上。把圓心移到 (2, -1)，同樣半徑為 5 的圓就變成 (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25。形狀從未改變，改變的只是它坐落何處。
反過來走也一樣直接。要造出一個圓的方程式，你恰好需要兩樣材料：圓心在哪，以及半徑多大。如果告訴你圓心和圓所經過的某一個點，距離公式就架起橋樑——從圓心量到那個點，你就得到 r。假設圓心是 (1, 2)，圓經過 (4, 6)。那麼 r = sqrt((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5，所以方程式是 (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25。你需要的一切，都從定義和一段距離流出來。
當圓躲起來時：配方法
圓並不總是以整齊的標準式登場。更常見的是你遇到它被展開的樣子，像是 x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0，圓心和半徑都不見蹤影。這是 一般式，x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，而把躲起來的圓心與半徑找回來的技巧，正是你在拋物線上已經用過的那個 配方法——對 x 項用一次、對 y 項用一次，平行地進行。
- 把 x 項聚在一起、y 項聚在一起，並把那個單獨的常數移到右邊：(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12。
- 對每一組，取一次項係數的一半再平方。-6 的一半是 -3，平方得 9；4 的一半是 2，平方得 4。
- 把那兩個數各自加到 兩邊，以保持方程式平衡：(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4。
- 每一組現在都是完全平方。把它們收摺起來：(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25。
- 讀出答案：圓心 (3, -2)，半徑 r = sqrt(25) = 5。
讓這件事保持誠實的唯一規則，就是平衡：你為了製造完全平方而往左邊加的任何東西，也必須往右邊加，否則你就悄悄把方程式換成另一條了。配方法不是憑空變出圓的把戲——它只是把同一條方程式重新排列成讓你看見「它本來就在那裡」的形式。一般式與標準式描述的是同一條曲線；只是一個把另一個公開展示的圓心與半徑藏了起來。
圓與直線、與其他曲線相遇之處
一旦圓成了方程式，問它在哪裡與一條直線相交，就變成純粹的代數。要找出圓與直線的 交點，就把兩條方程式聯立求解：拿直線的方程式，把一個變數解出來，代進圓的方程式，你就落到另一個變數的單一二次式上。實數解的個數恰好說出幾何的故事——兩個解表示直線是穿透而過的 割線，一個重根表示直線是只擦過的 切線，而沒有實數解表示直線完全錯過了圓。
那個切線情形，立基於你在圓的諸定理裡遇過的一個乾淨的幾何事實：在接觸點處，切線垂直於半徑。在座標裡這變成一件鋒利的工具。從圓心連到切點的半徑有確定的斜率，所以切線必須有負倒數的斜率——正是直線那篇裡的 垂直斜率 規則。把垂直條件和接觸點結合起來，你就能直接寫出切線的方程式，根本不必去解任何二次式。
同樣這套「代入並求解」的方法，處理兩圓相交、或圓與拋物線相遇，也一樣順手。值得停下來欣賞座標替我們買到了什麼：一個純綜合幾何要靠仔細作圖和圓規來回答的問題，在 x 與 y 的平面上，變成一條你只要解出來就好的二次方程式。這筆交換——以方程式換圖像、以計算換作圖——正是座標幾何整筆買賣的核心，而圓正是它報酬最鮮明的地方。
作為軌跡的圓，以及接下來是什麼
退後一步，注意這套推理的形狀，因為它比圓本身更大。我們拿了一個純幾何的描述——每個點都與固定圓心等距——把它轉換成一條方程式，曲線上每個點都滿足它、曲線外每個點都不滿足它。這正是 軌跡 的想法：一條被定義為「所有遵守某既定條件的點所成的集合」的曲線。圓是所有軌跡中最親切的一個，而精通它的翻譯，正為填滿下一篇的軌跡問題做好準備。
圓也是通往一整個家族的門戶。把切過圓錐的平面傾斜，圓就拉伸成橢圓，再成拋物線，再成雙曲線——這些就是 圓錐曲線。它們每一個都靠你剛剛練過的那套策略，得到自己的座標方程式：陳述一個距離條件，用距離公式把它寫下來，再用配方法把它整理乾淨。圓是那個家族裡特殊而完美對稱的成員，而正因為它最簡單，它才是把這套方法練到爛熟於心的最佳起點。