平面曲線、交重數與貝祖定理

天真的計數，以及打破它的三件事

我們以一個具體的單一定理收束簇這一級，它回報了本級所搭建的一切：第一、二篇的扎里斯基拓樸與零點定理、第三篇的座標環，以及第四篇光滑對奇異與爆破的機器。問題簡單得令人尷尬。平面上一條直線與一個圓通常相交於兩點；一條二次曲線與一條二次曲線相交於四點。那麼若一條平面曲線是某 d 次多項式 f(x, y) 的零點集，另一條是某 e 次多項式 g(x, y) 的零點集，它們的交集裡有多少個點？每個小例子都暗示的誠實第一猜是 d 乘 e。整篇就是在講：為什麼這個猜想照字面說是錯的，以及究竟哪三項修補使它分毫不差地成立。

看看這些失敗，因為每一個都點名一項修補。其一，x^2 + y^2 = 1（2 次）與直線 y = 2（1 次）本該相交於 2 點，在實數上卻一個也沒有——方程 x^2 = -3 沒有實解。其二，兩條平行線 y = 0 與 y = 1（各 1 次）本該相交於 1 點，在平面上卻無處相交：它們各自跑向無窮遠。其三，直線 y = 0（1 次）與拋物線 y = x^2（2 次）本該相交於 2 點，卻只在原點相交——然而直線在那裡相切，這唯一的點理應算兩次。三種不同的方式使 2 個的計數塌縮成更少的點，也就有三種不同的修法。

三項修補，依序為：(1) 在像複數 C 這樣的代數封閉體上工作，使多項式總是擁有全部的根，沒有交點因算術緣由而悄悄消失；這正是第二篇零點定理成立的場景，本級的字典由此適用。(2) 在射影平面中工作，而非仿射平面，使平行線及其他逃逸者在良定的無窮遠點相交。(3) 用一個整數權重為每個交點計數，即它的交重數，使相切算作 2、更糟的接觸算得更高。做齊這三項修正，計數便恰成 d 乘 e，毫無例外。這個乾淨的陳述就是貝祖定理。

走向射影並齊次化

射影的修法，你在第一篇就已遇見它作為簇的居所，故此處只需它的工作形態。射影平面 CP^2 的一點是一個不全為零的三元組 [X : Y : Z]，相差一個公共縮放下取定，故 [X : Y : Z] 與 [lambda X : lambda Y : lambda Z] 是同一點。仿射平面以圖卡 Z 不為 0 嵌入其中，透過 (x, y) 對應 [x : y : 1]；所有 Z = 0 者構成無窮遠直線，每個仿射直線的方向各對應一個額外的無窮遠點。平行的仿射直線共享一個方向，故它們共享其無窮遠點——並在那裡相交。上一節的逃逸者並未失蹤；它們一直在無窮遠直線上等著。

要讓一個多項式方程在 CP^2 中定義一條曲線，它必須是齊次的：每個單項式的總次數相同，使得 f(lambda X, lambda Y, lambda Z) = lambda^d f(X, Y, Z) 且零點集在縮放類上良定。你把一個 d 次仿射多項式 f(x, y) 化為同次數的齊次多項式 F(X, Y, Z)，靠的是齊次化：以 X/Z 代 x、以 Y/Z 代 y，再乘以 Z^d 清去分母。其逆——去齊次化——不過是令 Z = 1。如此在齊次座標中工作，一條 d 次平面曲線是某個齊次 d 次多項式的零點軌跡，並自動是一個射影簇。

Affine  ->  homogenize (x = X/Z, y = Y/Z, clear by Z^d)  ->  Projective

  line        y = x + 1          ->   Y = X + Z
  parabola    y = x^2            ->   Y Z = X^2
  circle      x^2 + y^2 = 1      ->   X^2 + Y^2 = Z^2

Points at infinity:  set Z = 0.

  parabola  Y Z = X^2  at  Z = 0  =>  X^2 = 0  =>  [0 : 1 : 0]   (one point, doubled)
  two parallels  Y = X+Z, Y = X-Z  at Z=0  =>  Y = X  =>  [1 : 1 : 0]  (they MEET here)

把仿射曲線齊次化並讀出它們的無窮遠點。平行線共享無窮遠直線上的單一點；拋物線與無窮遠直線相切，預示了重數。

誠實地定義交重數

第三項修補是深刻的那一個，配得上一個真正的定義，而非口號。天真的想法——「數曲線相切幾次」——雖有啟發性，卻無法計算，也對醜陋的奇異情形（例如兩曲線都奇異地穿過一點）噤聲不語。正確的對象是局部而代數的。固定一個曲線 f = 0 與 g = 0 相交的點 p。看在 p 附近有定義的正則函數的局部環 O_p——即座標環在 p 處的局部化，是你能在 p 取值的分式環。f 與 g 這兩個函數就坐落其中。兩曲線在 p 處的交重數是商環 O_p / (f, g) 作為體上向量空間的維數，其中 (f, g) 是由 f 與 g 生成的理想。

記 I_p(f, g) = dim_k O_p / (f, g)。慢慢讀它：你在度量當你一次同時施加 f = 0 與 g = 0 兩個方程之後，p 附近還剩下多少代數空間。若曲線乾淨橫截地相交，施加兩方程便完全釘住了該點，商就只是體 k 本身，於是 I_p = 1——一次誠實的相交。若曲線相切，f 與 g 在一階上「不夠獨立」；理想 (f, g) 較小，商較大，I_p 便跳至 2 或更高。這個定義不需要任何關於導數或極限的東西；它是純粹的交換代數，且能處理幾何圖像無法描述的奇異接觸。

取直線 y = 0 與拋物線 y = x^2，相交於原點 p = (0, 0)。設 f = y、g = y - x^2。局部環 O_p 是在原點正則的 x, y 之有理函數。
構造理想 (f, g) = (y, y - x^2)。既然 y 在理想中，y - x^2 減去 y = -x^2 也在，故該理想等於 (y, x^2)。商 O_p / (y, x^2) 令 y = 0 且 x^2 = 0。
存活下來的由 1 與 x 的類張成：x 的每個更高次冪都消亡（x^2 = 0），而 y 已不在。故 O_p / (f, g) 在 k 上有維數 2。
因此 I_p(f, g) = 2：切線在原點以重數 2 與拋物線相交，恰是天真計數所遺漏的那個「加倍的點」。

貝祖定理與它如何被證明

現在我們能乾淨地陳述定理。貝祖定理：設 F 與 G 是 CP^2 中次數為 d 與 e 的齊次多項式，定義兩條無公共分量的平面曲線（無共享的不可約因子——它們不沿整條曲線真正重疊）。則對所有交點 p 的交重數 I_p(F, G) 之總和等於 d 乘 e。第一節的每項修正現在都各司其職：在 C 上工作使所有的根都到場，在 CP^2 中工作捕捉了無窮遠點，而用交重數加權使相切與奇異接觸付足它們的份額。「兩曲線相交於 d 乘 e 點」這個口號，恰當在這三項但書生效下解讀時為真。

乘積 d 乘 e 究竟從何而來？最乾淨的證明用到結式，一個出自消去理論的古老想法。把 F 與 G 看作某一個變數（比如 Y）的多項式，其係數是 X 與 Z 的多項式。它們的結式 Res_Y(F, G) 是 X 與 Z 的單一多項式，它恰當 F 與 G 共享一個公共 Y-根時消失——也就是恰在交點對 X, Z 的投影之上。次數計算顯示這個結式對 X 與 Z 是齊次的、次數為 d 乘 e。在代數封閉的 C 上，這樣的形式恰分解為 d 乘 e 個計重數的線性因子，而每個因子以正確的權重對應到一個交點。乘積 d 乘 e 正是結式的次數——那就是引擎。

貝祖為你買來什麼，以及本級接下來通向何方

一個如此乾淨的定理是一台計數機器，回報立竿見影。兩條相異直線（d = e = 1）恰相交於 1 點——「兩線相交除非平行」的射影版本，而平行的情形在無窮遠獲救。一條直線與一條 d 次曲線相交於計重數的 d 個點，這正是你定義並計數切線接觸階的方式。兩條二次曲線（d = e = 2）相交於 4 點，這是二次曲線束背後、以及你或許記得自圓的幾何的點對圓的冪背後的古典事實。而一條光滑平面三次曲線被一條直線交於它的 3 點，正是橢圓曲線上群律的幾何種子：三個共線的點相加為零。貝祖把「有幾個？」化作算術。

誠實面對範圍，正如卷一所力勸。如所陳述的貝祖是關於 CP^2 中兩條平面曲線的陳述；它是一個遠為龐大的交理論的一維、餘維一的那一面。一般定理計數 CP^n 中次數為 d_1, ..., d_n 的超曲面所截出的點數，給出乘積 d_1 乘 ... 乘 d_n——但即便在那裡，也必須當心各片以預期的維數相交（一個「正常」的交），否則天真的乘積可能說謊。完整的機器（其中交重數活在周環中，或由塞爾的 Tor 公式定義）是另一門課；本篇給你的是誠實的 n = 2 情形與正確的局部定義，而非在最大一般性下的一般理論。

退一步，看見這道弧線。第一篇給了我們仿射簇與射影簇以及扎里斯基拓樸；第二篇藉零點定理把理想-簇的字典變精確；第三篇把簇上的函數打包為它的座標環與函數體；第四篇把光滑與奇異點分開，並以爆破解消奇異性。本篇把這四者兌現為單一答案：貝祖定理，其中兩條次數為 d 與 e 的曲線恰相交於 d 乘 e 點——只要你在 C 上、射影地、且帶重數地計數。從這裡道路分岔，一條通向概形——那裡環的 Spec 取代了簇，而同樣的交理念化作 Tor 與層上同調——一條通向曲線的黎曼-羅赫理論。每一個岔口都從這一個結束之處出發：一個度量兩個方程如何相交的局部環。