從單一守恆量到整個對稱群
第二篇交給你哈密頓力學的引擎：在辛流形 (M, omega) 上，一個光滑函數 H 透過 iota_{X_H} omega = dH 產生它的哈密頓向量場 X_H，而帕松括號 {f, H} 度量 f 沿 H 的流如何變化。那裡最乾淨的事實是守恆原理：f 沿 H 的流守恆，當且僅當 {f, H} = 0；又由反對稱性，H 永遠被它自己的流守恆。這正是諾特定理最精簡的形式——一個由 f 生成、保持動力學的對稱，給出一個守恆量 f，反之亦然。動量映射就是當你不只對一個守恆量、而是對「整個連通的對稱群」一次執行此事時所得到的東西。
想像最簡單的例子：平面中一個自由轉動的質點。相空間是 M = R^2 x R^2，座標為位置 q = (q_1, q_2) 與動量 p = (p_1, p_2)，帶著 omega = dp_1 ^ dq_1 + dp_2 ^ dq_2。圓群 SO(2) 以同一角度同時旋轉 q 與 p。這個旋轉對稱所守恆的那個單一數值就是角動量 mu = q_1 p_2 - q_2 p_1，而確實對任何旋轉不變的 H 都有 {mu, H} = 0。在此對稱群是一維的，所以一個守恆數就夠了。動量映射的全部內容，就是當群變大時，把這個純量升級為一個向量值的量。
動量映射是什麼，以及定義它的方程
現在讓一個李群 G 作用在 (M, omega) 上並保持 omega——一個辛作用，即黎曼那幾階裡等距變換的對稱類比。李代數 g 的每個元素 xi（一個「無窮小對稱」，即 G 中單位元附近的一個方向）透過對作用求導而在 M 上生成一個向量場，記為 xi_M：xi_M 在某點的值，是沿單參數子群 exp(t xi) 移動的速度。由於作用保持 omega，每個 xi_M 都是辛向量場。動量映射就是一個光滑映射 mu: M -> g*（映入李代數的對偶空間），它把每個這樣的 xi_M 提升為一個真正的哈密頓向量場，而對應於 xi 的守恆量正是 mu 與 xi 的配對。
Setup: G acts on (M, omega), omega-preserving
xi in g => vector field xi_M on M (infinitesimal action)
Moment map mu : M -> g* defined by, for every xi in g,
d< mu , xi > = iota_{xi_M} omega ( <mu,xi> : M -> R is the Hamiltonian for xi_M )
Equivariance: mu( g . x ) = Ad*_g ( mu(x) ) ( mu intertwines the G-action and coadjoint action )
Example (SO(2) rotating the plane): g* = R, mu = q_1 p_2 - q_2 p_1 = angular momentum慢慢讀那個定義方程，因為整個想法就在這一行裡。對每個 xi，M 上的實值函數 < mu, xi > 被要求是一個哈密頓量，其向量場為 xi_M，亦即 d< mu, xi > = iota_{xi_M} omega。所以 mu 是一台記帳裝置：它一次儲存了全部守恆哈密頓量的整個族，對稱代數的每個方向各一個。把一個方向 xi 與一點 x 餵給 mu，回傳的就是該守恆量的值。目標之所以是 g* 而非 g，正是因為這個配對角色——mu(x) 是一個線性泛函，吃進李代數方向、回傳每個方向對應的守恆數。守恆性如今是自動的：若 H 是 G-不變的，則每個 < mu, xi > 都與 H 帕松對易，所以 mu 的每個分量都是動力學的守恆量。這就是向量化的諾特定理。
等變性、餘伴隨軌道，以及動量映射何時存在
定義方程只釘住 d< mu, xi >，也就是微分，所以它對每個 xi 只把 mu 固定到 g* 中相差一個常數——這裡有真實的不確定性。我們透過要求與群的自然相容性來馴服它：mu 應當是等變的，意思是它把 G 在 M 上的作用與 G 在 g* 上的餘伴隨作用 Ad* 交織起來，使得 mu(g . x) = Ad*_g(mu(x))。對 SO(3) 而言，這不過是說角動量向量隨你旋轉空間的方式而旋轉，這顯然為真。等變性是消去常數不確定性的誠實而幾何的方法，也是約化定理所需的假設。當 G 緊緻或半單時，總能安排出一個等變的動量映射；一般而言，存在性與等變性受到一個上同調障礙（李代數 H^2 中的一個類）的限制。
等變性在目標空間上逼出一個優美的結構。由於 mu(g . x) = Ad*_g(mu(x))，M 中任一 G-軌道的像都落在 g* 裡餘伴隨作用的單一軌道內。這些餘伴隨軌道本身就是辛流形——基里洛夫-科斯坦-蘇里奧形式讓 g* 中 Ad* 的每個軌道都成為一個齊性辛 G-空間，而這些軌道正是構築一切「最簡單」哈密頓 G-空間的基本模型。對 G = SO(3) 而言，g* = R^3 中的餘伴隨軌道是固定半徑的球面（外加原點）；半徑是角動量的大小，而那球面就是你早在第一篇就認識的辛流形 S^2。於是抽象的目標 g* 被一葉葉辛球面所層化，每一個本身都是一個相空間。
馬斯登-溫斯坦約化：把對稱性取商除掉
回報來了。對稱性理應讓你消去變數——角動量守恆理應把一個三維問題壓縮成一個實質上更低維的問題。辛約化，即 1974 年的馬斯登-溫斯坦-邁耶定理，把這件事說得精確，而且關鍵在於：它讓你始終留在辛世界裡。從 (M, omega) 上一個帶等變動量映射 mu 的哈密頓 G-作用出發。選一個值，比方說 g* 中的 0（任何被餘伴隨固定的值都類似可行）。然後構造約化空間 M_0 = mu^{-1}(0) / G：先限制到守恆量取所選值的水平集上，再對剩下的對稱性取商。定理說 M_0 又是一個辛流形，帶有一個典範的約化形式 omega_0，而它的維數是 dim M - 2 dim G。
- 檢查 0 是 mu 的正則值（用正則值定理：當 G 沿 mu^{-1}(0) 沒有連續穩定子時，0 就是正則的）。那麼 mu^{-1}(0) 是維數為 dim M - dim G 的光滑子流形。
- 觀察到水平集是餘迷向的，且它的零方向恰是 G-軌道方向：omega 限制到 mu^{-1}(0) 上的核，正是 G-軌道的切方向。這是證明的幾何核心。
- 對 G 取商（假設作用在該處是自由且正常的，使商成為光滑流形）。omega 的退化方向恰好被取商所摺疊掉，留下一個「非退化」的形式。
- 在 M_0 = mu^{-1}(0)/G 上透過拉回定義 omega_0：pi*omega_0 = iota*omega，其中 iota 是水平集的含入、pi 是商映射。檢查 d omega_0 = 0 與非退化性——完成，(M_0, omega_0) 是辛的。
為什麼維數降了 2 dim G 而非 dim G？這是優雅的關鍵。水平集 mu^{-1}(0) 的維數是 dim M - dim G——你用掉了 dim G 個條件，把守恆量設為零。而這個水平集結果是餘迷向的，沿著它 omega 的零方向恰是 G-軌道的方向，又是 dim G。對 G 取商正好除掉那些退化方向，倖存下來的便是非退化的。所以你進場時砍掉 dim G（約束），出場時又砍掉 dim G（取商）——這是單一個辛正交性事實的兩半。這正是物理學家為何說每個守恆量「移除兩個自由度」：守恆值與它的共軛角度雙雙一同消失。
約化的實際運作，以及誠實的界限
用那個建構出射影空間的典範例子把它具體化。讓 G = U(1) 透過對角相位旋轉 z -> e^{i theta} z 作用在 M = C^{n+1}（實維數 2n + 2，配標準辛形式）上。等變動量映射是 mu(z) = -(1/2)|z|^2 + 常數，本質上就是長度平方。固定水平集 mu^{-1}(c)——一個固定半徑的圓球面 S^{2n+1}——再對圓作用取商。結果是複射影空間 CP^n，而約化辛形式是（某常數倍的）富比尼-施圖迪形式。所以 CP^n，那個來自複幾何階的基本辛（其實是凱勒）流形，字面上「就是」平坦 C^{n+1} 對圓作用的馬斯登-溫斯坦約化。維數計算：(2n + 2) - 2(1) = 2n，恰是 dim CP^n。這一個建構是辛商與 GIT 商貫穿整個幾何的原型。
一般的口號是「在某個值處約化，即 mu^{-1}(O)/G」，而這個值不必是 0。在一條餘伴隨軌道 O（而非單點 0）處約化，給出 M_O = mu^{-1}(O)/G，仍是辛的；這正是 SO(3) 例子在固定的非零角動量處如何產生一個自旋系統的約化相空間，也是「固定角動量、研究殘餘運動」的嚴格版本。整套框架也餵入第五篇：接觸約化、辛切割，以及環面流形的辛拓樸（其中動量映射的像是一個凸多胞形，即阿蒂亞-吉爾明-斯坦伯格定理）全都從這顆種子長出。約化是從第一、三篇的局部剛性通往整體辛幾何的橋樑。