你已經半懂的那個東西
在第一冊裡，流形是一個拓樸空間 M，使得在每個點 p in M 附近，它看起來都像 R^n 的一小塊開集。這幅圖像沒有錯，但它漏掉了一味關鍵的材料，而把這味材料找出來，正是本篇要做的全部工作。問題很微妙：「局部看起來像 R^n」只給了你一個從 p 的某鄰域到 R^n 中某開集的同胚——一個連續的雙射，且其逆也連續。連續性足以談論開集與極限，但要做微分，它遠遠不夠。
陷阱在這裡。同胚可以粗暴地不可微——想想絕對值函數的圖形，它與一條直線同胚，卻有一個尖角。所以「M 是拓樸流形」讓你能問某函數是否連續，但「這個函數在 p 可微嗎？」這個問題目前根本沒有意義。在一個赤裸的拓樸流形上，沒有導數的典範概念，因為我們用到的那些通往 R^n 的同胚，可以把空間任意揉皺。我們需要挑選更好的同胚——那些在重疊處彼此光滑相合的同胚。
座標卡、圖冊與相容性條件
M 上的一個座標卡是一對 (U, phi)，其中 U 是 M 的開子集，而 phi: U -> R^n 是到 R^n 中某開子集的同胚。把 phi 想成在指派局部座標：U 中的一點 q 變成 n 元組 phi(q) = (x^1, ..., x^n)。單一座標卡通常蓋不住整個 M——你無法把整個球面 S^2 攤平到一個平面上而不撕裂它——所以我們收集一整族座標卡，其定義域合起來覆蓋 M。這一族就是一個圖冊，恰如一本紙本世界地圖：許多彼此重疊的平面頁，每一頁都在以不同方式扭曲不同的區域。
決定性的想法，在於兩張座標卡重疊處發生了什麼。設 (U, phi) 與 (V, psi) 是兩張座標卡，且 U 與 V 的交集非空。在那塊重疊上，一個點有兩組座標，而轉移映射 psi 與 phi 的逆的合成，會把其中一組送到另一組。關鍵是：這個轉移映射是從 R^n 的某開集到 R^n 的某開集——它是歐氏空間之間如假包換的映射，而在那裡，「光滑」（無窮可微，C-無窮）的意思我們早已從多變數微積分學過。若每一個這樣的轉移映射都光滑、且其逆也光滑，我們就稱這兩張座標卡光滑相容。
留意工作發生在何處：轉移映射 psi o phi 的逆，是從 phi(U 與 V 的交集)（R^n 中的一個開集）到 psi(U 與 V 的交集)（R^n 中的另一個開集）的映射。一切都待在歐氏空間之內，所以「光滑」就帶著它在微積分裡尋常的 C-無窮之意。光滑相容要求 psi o phi 的逆與反方向的 phi o psi 的逆兩者都是 C-無窮。這一個要求，施加在每一對重疊的座標卡上，就是「賦予 M 一套微積分」的全部內容。
從圖冊到光滑結構
光滑圖冊是一種圖冊，其中每一對座標卡都光滑相容。這就是那味缺漏的材料：一個拓樸流形，再加上一個光滑圖冊的選擇，就是一個光滑流形。一旦有了它，你終於能定義什麼叫光滑函數 f: M -> R——也就是說，對每張座標卡，f 與 phi 的逆的合成，作為 R^n 某開集上的尋常函數是光滑的。相容性正好保證了這個定義不依賴於你選了哪張座標卡，因為兩張座標卡之間只差一個光滑的轉移映射，而光滑映射的合成仍然光滑。
有一個精細之處在實務上很重要。許多不同的光滑圖冊可以描述「同一套」微積分——比方說，多加一張相容的座標卡會改變圖冊，卻不該改變任何幾何上的東西。所以我們規定：若兩個光滑圖冊的聯集仍是光滑圖冊，便視它們為等價；並把一個等價類稱為一個光滑結構。具體操作時，你幾乎總是只用一個方便的圖冊；那個等價類不過是在記帳，告訴你剛才的選擇無關緊要。
一個算例：球面 S^2
讓我們在 R^3 中的單位球面 S^2 上造一個光滑圖冊，並看相容性如何發揮作用。最乾淨的圖冊用兩張由球極投影得來的座標卡。把光源放在北極 N = (0,0,1)，將其餘每一點投影到赤道平面上；這給出一個從 S^2 去掉 N 到 R^2 的同胚 phi_N。再從南極 S = (0,0,-1) 投影，得到第二張在 S^2 去掉 S 上的座標卡 phi_S。這兩個定義域合起來覆蓋了整個 S^2，因為第一張唯一漏掉的點是 N，而它正落在第二張裡。
現在是見真章的時刻：重疊處是 S^2 去掉兩極，而轉移映射結果是反演 (u, v) -> (u, v) 除以 (u^2 + v^2)。這個映射在 R^2 去掉原點上光滑——在那裡分母永不為零——且其逆也光滑（它正是自己的逆）。所以這兩張座標卡光滑相容，圖冊是光滑圖冊，而 S^2 是光滑流形。同一個點在兩張座標卡中算出的結果，相差的只是一個光滑的座標變換，而這正是在球面上做微積分的許可證。
phi_N : S^2 \ {N} -> R^2 phi_S : S^2 \ {S} -> R^2 (stereographic)
overlap = S^2 \ {N, S}
transition: phi_S o phi_N^(-1) (u, v) = (u, v) / (u^2 + v^2)
smooth on R^2 \ {0}, and equal to its own inverse光滑映射與微分同胚
在 M 與 N 上都固定了光滑結構之後，我們終於能說映射 f: M -> N 何時是光滑的。配方是唯一可用的那一個：把 f 寫成座標。在 M 中 p 附近取一張座標卡 (U, phi)，在 N 中 f(p) 附近取一張座標卡 (V, psi)；那麼合成 psi o f o phi 的逆，就是歐氏空間中開集之間的映射，而若這個合成在尋常意義下光滑，f 便在 p 光滑。相容性再次救了我們——換掉任一張座標卡，座標表示只差一些光滑的轉移映射，所以 f 的光滑性是 f 本身的性質，與座標卡無關。
- 取 M 中的 p 與其目標 f(p) in N。
- 選 p 附近的座標卡 (U, phi) 與 f(p) 附近的座標卡 (V, psi)，並縮小 U 使得 f(U) 落在 V 之內。
- 造出座標表示 F = psi o f o phi 的逆，這是 R^m 與 R^n 開子集之間的映射。
- 用尋常的多變數法則檢查 F 是否 C-無窮；若在每一點皆是，則 f 光滑。
最重要的光滑映射，是那些可逆的。一個微分同胚是具有光滑逆的光滑映射 f: M -> N；當這樣的映射存在時，M 與 N 作為光滑流形便無從分辨，正如同胚讓它們作為拓樸空間無從分辨一樣。微分同胚是本級所有東西「相同」的正確概念——當我們日後問兩個曲面、兩個李群、或兩個奇異球面是否「相同」時，幾乎總是指：它們之間有沒有一個微分同胚？
這為何對接下來重要
本級接下來的一切，都直接建立在你剛剛弄懂的光滑圖冊之上。下一篇會在每一點黏上一個切空間 T_p M，並把它們組裝成切叢 TM；它的定義本身就會用座標卡來說明通過 p 的哪些曲線「指向同一方向」，而正是相容性讓這件事良好定義。再之後是浸入與嵌入、正則值定理、薩德定理，以及那些依賴光滑結構的不變量，例如映射的度——這些在赤裸的拓樸流形上甚至連語意都不成立。