上同調、泛係數定理與杯積

把箭頭反過來：上同調是什麼

到此你已掌握了同調機器。由第一篇，一個空間 X 給出一個自由阿貝爾群的鏈複形 C_k(X)，配上滿足 partial^2 = 0 的邊界算子 partial_k: C_k -> C_{k-1}，而同調 H_k(X) = ker(partial_k) / im(partial_{k+1}) 量度循環模去邊界。上同調是由一個看似微小的動作建成的：施用函子 Hom(-, G)，其中 G 是某阿貝爾群，這會把每個箭頭反向。上鏈是 C^k(X; G) = Hom(C_k(X), G)——吃進一個 k-鏈、吐出 G 中一個元素的函數——而上邊界 delta: C^k -> C^{k+1} 是 partial 的轉置，定義為 (delta phi)(c) = phi(partial c)。

由於 partial^2 = 0，自動有 delta^2 = 0，於是我們得到一個朝「另一」方向跑的上鏈複形——次數往「上」走。上同調群是 H^k(X; G) = ker(delta^k) / im(delta^{k-1})：上循環模去上邊界。一個上循環 phi 是鏈上的一個函數，它在每個邊界上消失，即對所有 c 有 phi(partial c) = 0；若對某個作用於更低維鏈的 psi 有 phi = psi 複合 partial，則它是上邊界。這模式恰是把指標升上去、把箭頭翻轉的同調，你該牢牢握住這個心像：上鏈是對鏈所作的「測量」，而一個上循環是只依賴同調類、不依賴代表元的測量。

泛係數定理：到底有多少是真正新的？

一個懷疑者該問的誠實問題在此：若上同調只是同調取對偶，它攜帶了任何同調的貝蒂數與撓元尚未給我們的資訊嗎？泛係數定理作了精確的回答。它說 H^k(X; G) 由 H_k(X) 與 H_{k-1}(X) 經一條短正合序列建成：0 -> Ext(H_{k-1}(X), G) -> H^k(X; G) -> Hom(H_k(X), G) -> 0，且此序列分裂（但非自然地）。換言之：k 次的上同調是對偶 Hom(H_k, G)「加上」一個修正項 Ext(H_{k-1}, G)，後者偵測低一維的撓元。

在一個體上——比方 G = R 或 G = Q——那個 Ext 項消失（體上的每個模都是自由的），而 Hom 不過是向量空間對偶。所以在體上上同調與同調有「相同」的維數：上同調的貝蒂數等於同調的貝蒂數。這正是為何建立在 R 上的德拉姆上同調從不看見撓元。新的內容完全活在整係數 G = Z 之中，那裡 Ext(H_{k-1}, Z) 讓 H_{k-1} 的撓元復活，並把它轉世到「高一」次的 H^k 裡。上同調並非『比同調更強大』；它把同樣的群重新打包，但正是這個重新打包讓環結構成為可能。

RP^2 worked through, integer coefficients (G = Z):

  Homology  :   H_0 = Z      H_1 = Z/2     H_2 = 0

  UCT in degree 2 :  0 -> Ext(H_1, Z) -> H^2 -> Hom(H_2, Z) -> 0
                     0 -> Ext(Z/2, Z) -> H^2 -> Hom(0, Z)  -> 0
                     Ext(Z/2, Z) = Z/2 ,   Hom(0,Z) = 0
                     ==>  H^2(RP^2; Z) = Z/2

  UCT in degree 1 :  0 -> Ext(H_0,Z) -> H^1 -> Hom(H_1,Z) -> 0
                     Ext(Z,Z)=0 , Hom(Z/2,Z)=0   ==>  H^1(RP^2; Z) = 0

  Cohomology  :  H^0 = Z      H^1 = 0       H^2 = Z/2

  Note the SHIFT: the torsion Z/2 sat in H_1 but reappears in H^2.

實射影平面上的泛係數定理：第一同調裡的 Z/2 撓元在第二上同調中重現，且往上挪了一次——這是 Ext 修正項最乾淨的小型示範。

杯積：上同調上的一個乘法

現在來到正當化整段繞經上鏈之旅的回報。同調群只是群；你能把類相加，卻不能把它們相乘。上同調帶有一個乘積。給定上鏈 phi 屬於 C^p 與 psi 屬於 C^q，杯積 phi cup psi 屬於 C^{p+q}，定義在一個奇異單純形 sigma: [v_0, ..., v_{p+q}] -> X 上，做法是把 phi 求值於「前」p-面、把 psi 求值於「後」q-面：(phi cup psi)(sigma) = phi(sigma 限制到 [v_0,...,v_p]) 乘以 psi(sigma 限制到 [v_p,...,v_{p+q}])。萊布尼茲規則 delta(phi cup psi) = delta phi cup psi 加上 (-1)^p phi cup delta psi 表明兩個上循環之積仍是上循環，並降到上同調上。

結果是直和 H*(X; R) = 對 k 直和 H^k(X; R) 成為一個分次環，即上同調環，以杯積為乘法。它是分次交換的：對 p 次的 alpha 與 q 次的 beta，有 alpha cup beta = (-1)^{pq} beta cup alpha。那個正負號不是可有可無的記帳——它是由前面/後面的不對稱所逼出的，意味著奇數次的類反交換、且其平方是一個 2-撓元。若你走的是形式路線，這字面上就是楔積降到德拉姆上同調：alpha cup beta 對應 [alpha ^ beta]，而那個分次正負號正是使 dx ^ dy = - dy ^ dx 的同一個正負號。

為何環看見的比群更多

上同調為何值得它的代價，具體理由在此。環面 T^2 與楔和 S^2 v S^1 v S^1 在每個次數上有「相同」的同調與上同調群：0 次一個 Z，中間兩個 Z，頂端一個 Z。作為光禿禿的群，它們無從分辨。但它們的「環」不同。在 T^2 上，兩個 1 次生成元 alpha、beta 滿足 alpha cup beta = 頂端生成元（H^2 中一個非零元）——環面『閉合起來』，使兩個圓周方向相乘成為基本類。在楔和上，正次數類的每個杯積都是「零」，因為正次數類支撐在僅於基點相交的不同片上。乘積結構瞬間把這兩個空間區分開來。

每位拓樸學家都裝在腦中的第二個例子：複射影空間。上同調環 H*(CP^n; Z) 是截斷多項式環 Z[h] / (h^{n+1})，其中 h 是 2 次的單一生成元。一切都由一個類及其各次冪生成，唯一的關係是 h^{n+1} = 0，因為 2n 次以上空無一物。對照實射影空間，其環是 Z/2[w] / (w^{n+1})，w 為 1 次、係數在 Z/2 中——泛係數定理曾警告你的撓元，如今竟成了乘法的係數環本身。這些緊湊的描述遠比逐次列出群來得有用。

一步步計算一個上同調環

讓我們在一個例子——環面 T^2——上把一切組裝起來，從鏈一路走到環。這把第三篇的胞腔同調、本篇的泛係數定理與杯積縫在一起，也是你在遇見的每個空間上都會跑的範本。要內化的重點是：「群」來自（上）鏈複形，而「環」需要一個額外的幾何輸入——胞腔如何拼合——此處它編碼於唯一的非零乘積 alpha cup beta 之中。

用第三篇的胞腔複形計算同調。環面有一個 0-胞腔、兩個 1-胞腔 a、b、一個 2-胞腔，且所有胞腔邊界映射皆消失，得 H_0 = Z、H_1 = Z (+) Z、H_2 = Z，處處無撓元。
施用泛係數定理。由於每個同調群都是自由的，所有 Ext 項消失，故 H^k(T^2; Z) = Hom(H_k, Z)：上同調為 H^0 = Z、H^1 = Z (+) Z、H^2 = Z。無撓元的情形意味著此處上同調與同調看來一模一樣。
命名生成元：令 H^1 中的 alpha、beta 對偶於兩個 1-胞腔 a、b，並令 H^2 中的 mu 為對偶於 2-胞腔的生成元（基本上同調類）。到此為止全是純線性代數，沒有乘積。
放入杯積。環面的 2-胞腔沿換位子 a b a^{-1} b^{-1} 黏合，幾何上意味著兩個圓周方向恰好張成頂端胞腔一次；故 alpha cup beta = mu，而由分次交換性 alpha cup alpha = 0、beta cup beta = 0。這個環是兩個 1 次生成元上的外代數 Lambda[alpha, beta]。
讀出寓意並前瞻。單單一條方程 alpha cup beta = mu 就把 T^2 與 S^2 v S^1 v S^1 分開；它也說配對 H^1 x H^1 -> H^2 是非退化的，這恰是龐加萊對偶的相交形式，第五篇將把它化為符號差與萊夫謝茨不動點計數。