為何形式才是天生該被積分的對象
從本級前兩篇你已經知道，一個 k 階微分形式吃進 k 個切向量、反對稱地吐出一個數。這份反對稱性的回報正在這裡：在 n 維流形 M 上的最高階形式（n 形式），會替由切標架張成的每一小塊平行多面體指定一個帶號的數。那個帶號的數就是一個有向體積元。所以當你寫下「M 上 omega 的積分」（omega 是 n 形式）時，你其實是在累加有向體積——而正是那份反對稱性，讓變數變換的雅可比行列式連同它的正負號自動現身。
把這跟大學微積分積分函數的方式對照一下：那需要一個測度，因而需要一個 度規，才談得上「dx dy」該秤多重。而形式根本不需要度規。這正是為何在裸的光滑流形上，積分的正確「貨幣」是形式而非函數的祕密——在你加上幾何之前沒有典範體積，但 n 形式與有向 n 區域之間始終有一個典範配對。把這點記清楚：積分一個函數需要額外結構；積分一個 n 形式只需要一個定向。
定向：選一個一致的正負號
M 的一個 定向，是在每個切空間 T_p M 中對「哪一邊是正」所做的相容選擇，並隨 p 連續變化。具體地說：在每一點挑定一個有序標架的等價類為正向（兩個標架若其間的線性映射行列式為正則視為一致），並要求鄰近的點彼此一致。在連通的 M 上，這樣的選擇至多只有兩個——就像一張紙的兩面。承認這種選擇的流形稱為可定向的；克萊因瓶與莫比烏斯帶正是那些一個都不承認的著名流形。
最俐落的判準直接動用形式：M 可定向，恰好等價於它帶有一個處處不為零的 n 形式。這樣的形式在你四處移動時從不變號，於是它在整體上挑出了正向標架。在莫比烏斯帶上，你寫得出的任何最高階形式都被迫在某處為零——試著把一個正負號沿著迴圈一路延拓，它就會在你手上翻面。這正是為何可定向性其實是關於餘切叢 T*M 之最高階外冪的陳述，而不是關於箭頭圖示。
逐圖卡拼出積分
現在來替緊支集的 n 形式定義「M 上 omega 的積分」。在單一張定向圖卡（座標為 (x^1, ..., x^n)）裡，omega 長得像 f dx^1 ^ ... ^ dx^n，我們就把它的積分定義為 f 在那塊座標片上的普通黎曼（或勒貝格）積分。奇妙之處在於相容性：若你換到重疊的座標重做，omega 的 拉回會把 f 乘上轉移映射的雅可比行列式——而在定向圖冊上該行列式恆正，於是普通的變數變換公式使兩個答案吻合。定向，正是那個殺掉變數變換通常會帶著的絕對值符號的東西。
為了把這些局部片段拼成一個整體的數，我們用一個從屬於該定向圖冊的單位分解——一族凸起函數 rho_i 加總為 1，每個都支撐在某一張圖卡內。寫成 omega = sum_i rho_i omega，把每一塊在它自己的圖卡裡積分，再相加。一段簡短的論證表明，總和與你選了哪個單位分解無關。這正是流形那一級裡標準的「把局部定義整體化」手法，只是在這裡它做的是真正的分析工作，而非單純的記帳。
single chart: integral over U of (f dx^1 ^ ... ^ dx^n) := Riemann integral of f over phi(U) in R^n overlap, transition F = psi o phi^(-1): pullback gives f_psi = (f_phi o F^(-1)) * det(DF) det(DF) > 0 on an oriented atlas => no absolute value => the two chart-integrals agree global: integral over M of omega := sum_i integral over chart_i of (rho_i * omega), sum_i rho_i = 1
帶邊界的流形與誘導定向
斯托克斯定理把一個區域與它的邊緣連繫起來，所以我們需要一個邊緣。帶邊界的流形的局部模型不是 R^n，而是閉半空間 {x^n >= 0}；它的邊界 dM 是 x^n = 0 那一組點，而這邊界本身是一個低一維的光滑流形。想想閉圓盤（邊界是一個圓）、實心球（邊界是一個球面），或一段圓柱（邊界是兩個圓）。內部表現得跟普通流形一樣；只有那道邊緣是特別的。
接下來是微妙而對正負號至關重要的一段。M 上的定向會依外法向優先的約定，在 dM 上誘導出一個特定的定向：在一個邊界點，取一個指向外側的向量，把它擺在標架的最前面，當整串對 M 是正向時，就把其餘 (n-1) 個向量稱為 dM 的正向。這條規則是個約定——Lee、Spivak 與 Bott-Tu 都用它，但少數文獻把外法向擺在最後，這會翻轉邊界定向，從而翻轉每一個邊界積分的正負號。挑一個並聲明它；我們在這裡用外法向優先。
廣義斯托克斯定理
至此一切都是為了一句乾淨的陳述而鋪設。對一個帶邊界、緊緻、定向的 n 維流形 M，以及任意光滑的 (n-1) 形式 omega，廣義斯托克斯定理說：M 上 d omega 的積分，等於 dM 上 omega（之限制）的積分。一行話：把內部的外微分，換成外部的邊界。一旦機器到位，證明其實很短：用單位分解化約到單一張半空間圖卡，在那裡命題塌縮成把微積分基本定理沿 x^n 方向施行，而所有其他方向都積成零。
好好體會它統一了多少東西。取 n = 1、M 是一段區間、omega 是函數，則 d omega = f' dx，而 dM 是兩個帶相反正負號的端點——這字面上就是微積分基本定理。取 n = 2，它就是格林定理；取 n = 3 並用度規字典把 d 翻譯成 grad/curl/div，它同時化為古典斯托克斯定理與散度定理。本篇之所以能說「統一了梯度、旋度與散度的單一算子」，正因為那些向量微積分恆等式，全是透過一個度規去讀的這同一條方程。
- 用定向圖卡覆蓋 M，並挑一個從屬於它們的單位分解 rho_i；寫成 omega = sum_i rho_i omega，於是只需對單一張圖卡裡的一塊緊支集片段證明定理即可。
- 在內部圖卡（不碰邊界）中，把 d omega 按座標展開；因形式有緊支集，每一項依基本定理都積成零，故內部積分為零，且沒有邊界要匹配——一致。
- 在以 {x^n >= 0} 為模型的邊界圖卡中，除 x^n 外的所有座標方向仍積成零；x^n 那一項則經由基本定理，恰好給出 omega 在切片 x^n = 0 上的值。
- 核對外法向優先的約定使那個切片帶有誘導的邊界定向；對 i 求和便重組出整體恆等式：M 上 d omega 的積分 = dM 上 omega 的積分。
為何這是通往上同調之門
斯托克斯定理立刻付出一份拓樸紅利。在閉流形上（緊緻、無邊界），右邊是對空集的積分，因而為零：故對每個 omega 都有「M 上 d omega 的積分 = 0」。於是，閉形式（回想第二篇的閉形式與恰當形式）在閉流形上的積分，分辨不出兩個僅相差一個恰當形式的形式——其差積成零。積分因而下降為等價類上的一個配對，而那些等價類正是德拉姆上同調。下一篇會把這點講精確：H^k(M) 度量的是閉形式對恰當形式取商的結果。
用一個小例子來定錨：在圓上，角形式 d theta 是閉的卻非恰當（theta 不是單值函數），它繞迴圈一圈的積分是 2 pi，而非零。斯托克斯定理無法把它變成零，因為圓上不存在一個整體上以 d theta 為導數的 0 形式——那個非零的積分正在偵測那個孔洞，也正是圓的 H^1 為一維的種子。
誠實地界定範圍。我們在帶光滑邊界的光滑流形上、對光滑形式證明了斯托克斯定理，並在緊緻情形下陳述它。現實常需要角點（正方形就有），需要帶角流形，或更弱的正則性，而每一種推廣都是一條有自身假設的真正定理——不是自動的推論。「內部的 d 等於外部的邊界」這句口號是可靠的；關於角點、完備性與衰減的細則，才是嚴謹文獻彼此分歧之處，所以當你要在非緊緻或帶角的空間上動用斯托克斯定理時，務必確認你實際用的是哪個版本。