線叢與它們的曲率：「正」是什麼意思
第三、四篇給了我們凱勒的世界與它的霍奇理論；現在我們問它「有什麼用」。答案是：一個取值於數的單一小裝置——緊凱勒流形 M 上的一個全純線叢 L——可以是「正」的，而正性足以把 M 整個拽進射影空間。先固定這個對象。全純線叢是一族一維複向量空間 L_p（M 中每點 p 之上一個），由全純的轉移函數黏合；它的截面是全純函數的自然推廣，只是這些函數沿 M 移動時可能扭轉。平凡叢的整體截面就只是全純函數；在緊 M 上那些僅是常數，所以有趣的叢是被扭轉的那些。
要談曲率，我們需要一個聯絡。由叢那一級你知道：L 上的一個埃爾米特度量 h 連同它相容的陳聯絡產生一個曲率 2-形式，而對線叢而言該曲率是一個閉的實 (1,1)-形式 Theta。除以 2 pi 給出一個不依賴所選度量 h 的德拉姆類：它就是第一陳類 c_1(L)，是 H^2(M; R)（其實是 H^2(M; Z)）中的元素。類 c_1(L) 是 L 的拓樸投影；形式 Theta 是它的一個分析代表元，而改變度量 h 只把 Theta 改變一個恰當的 i partial dbar(某物)。這種在類內重塑 Theta 的自由，正是我們將要利用的。
現在來到組織起一切的定義。線叢 L 若容許一個其曲率形式 Theta 為凱勒形式的埃爾米特度量，便稱為正——也就是說，(1,1)-形式 (i/2 pi) Theta 在每點都正定，從而充當 M 上某凱勒度量的 omega。等價地，類 c_1(L) 含有一個凱勒形式；這樣的類稱為正（或豐沛）類。首要的例子是：在 CP^n 上超平面叢 O(1) 是正的，其曲率恰是你在第三篇遇到的富比尼-施圖迪形式 omega_FS。正性是一個曲率正性條件，是正里奇曲率在線叢上的類比，而它正是整個嵌入定理所賴以為基的假設。
小平消滅：正性發力之處
在能嵌入任何東西之前，我們需要知道一個正叢有足夠的截面可資憑視。截面的供應由上同調支配，而保證供應的引擎是小平消滅定理：若 L 是 n 維緊凱勒流形 M 上的正線叢，則對每個 q 大於 0 有 H^q(M, K_M tensor L) = 0，其中 K_M 是典範叢（T*M 的最高外冪，全純 n-形式之叢）。「高次上同調消滅」這個口號藏起了發力之處——而它的證明是一個直接出自第四篇霍奇機器的博赫納型論證。
以下是它為真的緣由之形貌，誠實地保持為草圖。由霍奇定理，H^q(M, K_M tensor L) 中的一個類由唯一的調和形式 alpha 代表，它被由 L 的陳聯絡建起的叢拉普拉斯算子 Delta_dbar 所殺。第三篇的凱勒恆等式藉一條博赫納-小平-中野公式把這個拉普拉斯算子改寫為 Delta_dbar = Delta_partial + （一個曲率項）。該曲率項由 L 的曲率 Theta 建成。當 L 為正時，Theta 是凱勒形式，而一段短短的線性代數計算顯示：在次數 q 大於 0 的形式上，該曲率項是一個「嚴格正」的算子。一個調和的 alpha 滿足 0 = (Delta_dbar alpha, alpha) = （正部）+（非負部），這逼使 alpha = 0。曲率的正性化作算子的正性，再化作上同調的消滅。
小平嵌入：從一個正叢到射影空間
現在來到本級的頭條。小平嵌入定理說：緊複流形 M 容許一個正全純線叢，當且僅當 M 能被全純地嵌入某個射影空間 CP^N。等價地，M 是一個射影簇——有限多個齊次多項式的零點軌跡——恰當它帶有一個正線叢。這是一座驚人的橋：正性是一個關於曲率的分析、微分幾何條件，而作為射影則是一個關於多項式方程的代數條件。小平的定理說它們是同一個條件披著兩件戲服。它是複微分幾何走進代數幾何的門戶。
嵌入到底怎麼建？你不用 L 本身，而用高次冪 L^k（k 取大），並用它的整體全純截面寫下一個映射。設 H^0(M, L^k) 有一組整體截面的基底 s_0, s_1, ..., s_N。在一個並非所有截面都消失的點 p，把 p 送到 CP^N 的點 [s_0(p) : s_1(p) : ... : s_N(p)]。值 s_j(p) 活在一維的纖維 L^k_p 中，故單獨看它們不是數，但它們的「比值」是良定的——而射影空間的一點恰是一個元組相差一個公共縮放。這就是映射 Phi_{L^k}: M -> CP^N。一切現在繫於 Phi 是否處處有定義、單射、且為浸入。
- 無基點性：當 k 夠大時，在每點 p 都有某個 H^0(M, L^k) 中的截面非零，故映射 Phi 無任何使所有座標都消失的點——它在整個 M 上有定義。小平消滅正是保證足夠多截面存在的依據。
- 單射性（分離點）：當 k 夠大時，給定兩個相異點 p 與 q，存在一個在 p 消失但在 q 不消失的截面，故 Phi(p) 與 Phi(q) 相異——Phi 是一對一的。
- 浸入性（分離切向）：當 k 夠大時，截面亦分離一階資料，故 Phi 的微分在每點都單射——沒有切方向被壓垮。一個緊的單射浸入自動是嵌入。
- 其中每一條都藉把小平消滅施於 L^k 用相關點的理想層扭轉後而證得；消滅使某個限制映射滿射，這恰是「存在一個取指定值的截面」。正性供養了這全部三條。
卡拉比-丘流形：當典範叢平坦時
小平嵌入在乎的是一個正線叢。卡拉比-丘幾何在乎的卻是某個特殊叢的相反極端：典範叢 K_M（全純 n-形式之叢）盡可能地平坦而平凡。緊凱勒流形 M 當它的典範叢平凡時稱為卡拉比-丘，K_M = O_M——等價地，當 c_1(M) = 0 且 M 帶有一個處處不為零的全純 n-形式 Omega。K_M 的平凡性說，這流形在精確的意義下沒有偏好的體積扭轉；全純 n-形式 Omega 是一個整體的複體積元，相差一個純量下唯一。每個維度最簡單的卡拉比-丘把這一點變得具體：在一維它是橢圓曲線 C / Lambda，其全純 1-形式 dz 從不為零。
這些流形之所以重要，緣於卡拉比猜想（由丘成桐證明），那是一個關於里奇曲率的陳述。在凱勒流形上，里奇曲率本身由一個 (1,1)-形式代表，其類恰是 2 pi c_1(M)；故 c_1(M) = 0 意味里奇類消失。丘的定理說的遠不止「類消失」：給定 c_1(M) = 0，存在一個其里奇曲率恆為零的道地凱勒度量——一個里奇平坦凱勒度量——且它在每個凱勒類中唯一。所以一個帶 c_1 = 0 的緊凱勒流形免費地容許一個同時是凱勒、又是愛因斯坦方程真空解的度量。這是任何維度下里奇平坦度量唯一的一般存在定理，也正是物理學家採卡拉比-丘三疊形作為弦論隱藏維度的緣故。
在此要小心「證明」一詞。丘對卡拉比猜想的解決，把里奇平坦度量的存在性歸約為求解一個複的蒙日-安培方程——一個關於單一函數 phi 的全非線性二階偏微分方程，示意地為 det(g_jk + partial_j partial_k phi) = e^F det(g_jk)。丘建立了使其可解的先驗估計；該論證是幾何分析中漫長而精細的一章，不是一段話。下面的圖記下方程的樣貌，但真正的證明是一門非線性偏微分方程的研究所課程，不是一篇指南。
Calabi-Yau, three equivalent faces of one condition on a compact Kahler M:
topology : c_1(M) = 0 in H^2(M; R)
holomorphy : K_M trivial, i.e. a nowhere-zero holomorphic n-form Omega exists
metric : there is a UNIQUE Ricci-flat Kahler metric in each Kahler class (Yau)
The Ricci-flat metric solves a complex Monge-Ampere equation for one function phi:
det( g_jk + d_j d_k phi ) = e^F * det( g_jk ), omega_phi = omega + i ddbar phi > 0
Lowest-dimensional Calabi-Yau manifolds:
dim 1 : elliptic curve C / Lambda (1-form dz never vanishes)
dim 2 : K3 surface (e.g. a quartic in CP^3)
dim 3 : the quintic threefold in CP^4 (zero set of a degree-5 polynomial)例子、未解問題與本級的去向
讓例子擔起理解，正如卷一所力勸。五次三疊形——CP^4 中一般的五次齊次多項式的零點集——是教科書級的卡拉比-丘三疊形，你能在它身上看見兩個定理一齊運作。它依構造為射影的，故由小平嵌入它帶有一個正線叢（O(1) 的限制）。一段短短的附加公式計算顯示它的典範叢平凡，故 c_1 = 0，丘的定理便交給它一個里奇平坦凱勒度量——一個無人能寫出閉形式的度量，其存在卻是確定的。K3 曲面（二維）是低一維的類比；橢圓曲線是再低一維的類比。同樣的三副面孔，遞增的豐富性。
誠實面對仍然未決的事。卡拉比-丘三疊形的完整分類是未知的——我們甚至不知道是否只有有限多個拓樸型，而已知者的計數已達數十萬。最深的組織性想法是鏡對稱，我們只能陳述它：它猜測卡拉比-丘三疊形成對鏡像出現 (M, M')，其霍奇數互換 h^{p,q}(M) = h^{n-p,q}(M')，而其複幾何與辛幾何互相交換。這是綜述性的陳述，不是在此證明的定理；它有大部分仍是猜想，而在已被嚴格化之處，那些證明也極為艱鉅。把第四篇的霍奇對稱當作熱身，把鏡對稱當作敞開的地平線。
退一步，看見本級的弧線。第一篇建起複流形與使 J 誠實的可積性；第二篇依型別拆分形式並給我們杜爾博上同調；第三篇鋪下度量並掙得凱勒恆等式；第四篇把它們化為霍奇理論與強萊夫謝茨。本篇把這一切兌現了兩次：一次給小平嵌入定理，它使線叢的正性與作為射影簇同義；一次給卡拉比-丘流形，那裡典範叢的平凡性藉丘對卡拉比猜想的解決而給出里奇平坦度量。從這裡道路分岔，一條通向代數幾何各軌（層、概形、塞爾對偶），一條通向辛幾何與鏡對稱——但每一個岔口都從一個閉的正 (1,1)-形式出發，那是貫穿整級的安靜英雄。