從黎曼到埃爾米特：尊重 J 的度量
本級第一篇給了我們一個帶可積概複結構 J 的複流形 M，第二篇則依型別拆分形式並建起杜爾博算子 partial 與 dbar。至此尚無長度或角度的概念——只有全純的骨架。現在我們在其上鋪一個度量，但不是隨便哪個度量：我們要一個看不出向量 v 與它旋轉後的夥伴 Jv 之差別的度量。埃爾米特度量是 M 上滿足 g(Jv, Jw) = g(v, w)（對一切切向量）的黎曼度量。此條件說 J 在每個切空間 T_p M 上都是等距，所以 g 分不清一個實方向與被 i 旋轉後的方向。
每個複流形都容許埃爾米特度量——從任一黎曼度量 g_0 出發，藉 g(v, w) = (g_0(v, w) + g_0(Jv, Jw))/2 對 J 取平均；再用單位分解把各個局部片黏起來。所以埃爾米特性是廉價的，對 M 的選擇毫無限制。有趣的結構在你把度量編碼成 2-形式而非對稱張量的那一刻出現。定義基本形式 omega 為 omega(v, w) = g(Jv, w)。埃爾米特條件恰恰使 omega 反對稱——omega(w, v) = g(Jw, v) = g(J^2 w, Jv) = -g(w, Jv) = -omega(v, w)——故 omega 是一個道地的 2-形式，且在第二篇的杜爾博分次下是純 (1,1) 型。
把這一切在局部全純座標 z^1, ..., z^n 下看清是值得的。度量由一個正定的埃爾米特函數矩陣 (h_jk) 記錄，而基本形式寫成 omega = i sum_{j,k} h_jk dz^j ^ d zbar^k——一個實 (1,1)-形式，其正性恰恰是 (h_jk) 的正定性。在平坦的 C^n 上取 h_jk = delta_jk，這便塌縮成 omega = (i/2) sum dz^j ^ d zbar^j，這不過是卷一辛幾何的標準辛形式。所以即便在任何閉性條件之前，埃爾米特度量的基本形式逐點看起來已經是辛的；下一節的問題是它是否「整體」為辛。
凱勒條件：一個閉形式改變一切
以下這個單一假設，把一個桀驁不馴的埃爾米特流形變成樂園。一個埃爾米特流形若其基本形式為閉，便稱為凱勒：d omega = 0。這就是全部定義——三個天真無邪的字母——卻是本級最深的要求。閉性意味著 omega 不只是個度量小裝置，而是一個道地的辛形式，所以凱勒流形同時是複的（有 J）、黎曼的（有 g）、辛的（有閉的 omega），三者全由唯一的恆等式 omega(v, w) = g(Jv, w) 編織在一起。這是本卷三大幾何相重合、而非僅僅共存之處。
為何 d omega = 0 如此影響深遠？因為它暗中等價於一個關於聯絡的陳述。度量 g 帶有卷一的列維-奇維塔聯絡 nabla，而複結構 J 是 nabla 可微分的張量場。乾淨的定理是：埃爾米特流形是凱勒的，當且僅當 nabla J = 0——複結構是「平行」的。等價地，陳聯絡（同時相容於度量與全純結構的典範聯絡）與列維-奇維塔聯絡重合。在一般埃爾米特流形上，這兩個聯絡相差一個撓率；凱勒條件恰恰是該撓率的消失。所以「d omega = 0」就等同於「平行移動與 J 交換」，這也正是底下曲率表現如此優良的原因。
具體的凱勒流形——以及不是的那些
從小處著手。平坦的 C^n 配 omega = (i/2) sum dz^j ^ d zbar^j 平凡地是凱勒的——omega 係數為常數，故 d omega = 0。複環面 C^n / Lambda 繼承這個平坦的 omega，因而是一個緊凱勒流形；當 n = 1 時它是橢圓曲線。真正擔起一切實際工作的例子是配富比尼-施圖迪度量的複射影空間 CP^n。它的基本形式在齊次座標下是 omega_FS = (i/2 pi) partial dbar log(|z_0|^2 + ... + |z_n|^2)，而它為閉有一個值得細品的結構性理由：它在局部是某函數的 i partial dbar。由於 d = partial + dbar 且 partial^2 = 0、dbar^2 = 0、partial dbar = -dbar partial，把 d 施於 i partial dbar(任何東西) 自動給出零。
這個 i-partial-dbar 把戲是凱勒幾何的引擎。形如 i partial dbar phi（phi 為光滑實函數）的實 (1,1)-形式自動為閉，而這樣的 phi 稱為凱勒位勢。在 CP^n 上，函數 log(sum |z_j|^2) 就是位勢；富比尼-施圖迪形式由它降下。再來是繼承原理：凱勒流形的「任何」複子流形仍是凱勒的，因為把閉形式限制上去仍為閉，把正 (1,1)-形式限制上去仍為正。結合 CP^n 為凱勒，這便交給你龐大的供應——每個光滑射影簇、每條嵌成三次曲線的橢圓曲線、射影空間中每個非奇異超曲面，都是緊凱勒流形。這正是凱勒幾何何以是代數幾何的天然家園。
凱勒恆等式：綁住諸算子的括號關係
現在我們抵達技術的核心。在任何埃爾米特流形上，有三個一階算子作用於形式：d（實的、把次數升一）、partial 與 dbar（杜爾博算子，分別升高全純與反全純次數）。度量供給它們的形式伴隨 d*、partial*、dbar*（各把次數降一），外加一個代數算子：萊夫謝茨算子 L，它與 omega 取楔積，L(alpha) = omega ^ alpha，連同它的伴隨 Lambda = L*（與 omega 縮並）。在埃爾米特流形上，這些算子彼此間沒有乾淨的關係。凱勒條件的奇蹟是：一旦 d omega = 0，它們便鎖進一張緊密的對易子恆等式之網。
The KAHLER IDENTITIES (valid because d omega = 0; [ , ] is the graded commutator):
[ Lambda , dbar ] = - i partial*
[ Lambda , partial ] = i dbar*
[ L , partial* ] = i dbar
[ L , dbar* ] = - i partial
Consequences for the three Laplacians Delta_d = dd* + d*d , etc.:
Delta_partial = Delta_dbar (the two complex Laplacians agree)
Delta_d = 2 Delta_partial = 2 Delta_dbar (the real Laplacian is twice them)
Delta_d commutes with L , Lambda , partial , dbar , partial* , dbar* , and the projectors to (p,q)這些該如何「證」？老實說：沒有俐落的一行妙證。最乾淨的路徑是在平坦的 C^n 上以座標直接（縱然繁瑣）計算來驗第一條恆等式，那裡 omega 係數為常、算子皆顯式。接著上面附註裡的凱勒法座標擔起重活——在凱勒流形的任一點 p，度量與平坦者二階切觸，故那條只看見度量及其一階導數的「一階」恆等式，必在 p 處如在平坦 C^n 上一般精確成立。既然 p 任意且兩邊皆為張量，恆等式便全域成立。其餘三條藉取伴隨並施複共軛而來。這是證明的草圖，不是證明——真貨要填滿任何一本凱勒幾何教科書好幾頁。
為何 Delta_d = 2 Delta_dbar 才是全部重點
退一步，感受這個後果替你買到了什麼。在赤裸的複流形上，德拉姆上同調 H^k(M)（以 d 計算）與杜爾博上同調 H^{p,q}(M)（以 dbar 計算，見第二篇）活在不同的世界——d 不尊重 (p,q) 分次，故沒有理由一個調和 k-形式會按型別俐落地分裂。凱勒恆等式 Delta_d = 2 Delta_dbar 逼使這兩個拉普拉斯算子有「相同」的核：一個形式是 d-調和的，恰當它是 dbar-調和的。因此調和 k-形式的空間按型別分解，而 (p,q) 型的調和形式同時是兩種上同調的構件。
把這一點過一遍霍奇定理（每個上同調類都有唯一的調和代表元，第四篇將完整展開），你便得到緊凱勒流形的霍奇分解：H^k(M; C) = 對 p+q=k 直和 H^{p,q}(M)，並帶有霍奇對稱 H^{p,q} = H^{q,p} 的複共軛。貝蒂數分裂成霍奇數 h^{p,q}，b_k = sum of h^{p,q}，而對稱 h^{p,q} = h^{q,p} 立刻逼使每個奇貝蒂數為偶——這正是先前排除霍普夫曲面的那個障礙。一個閉性條件 d omega = 0，經凱勒恆等式傳播，重組了 M 的整個拓樸。
- 鋪下一個埃爾米特度量：一個滿足 g(Jv, Jw) = g(v, w) 的黎曼度量 g；把它重新打包成基本 (1,1)-形式 omega(v, w) = g(Jv, w)。每個複流形都容許一個。
- 施加凱勒條件 d omega = 0。等價形式有：nabla J = 0（J 平行）、陳聯絡 = 列維-奇維塔聯絡，或局部存在凱勒位勢 omega = i partial dbar phi 與凱勒法座標。
- 收穫凱勒恆等式，例如 [Lambda, dbar] = -i partial*，藉在平坦 C^n 上驗證並經法座標搬運；取伴隨與共軛得其餘各條。
- 兌現它們：Delta_d = 2 Delta_partial = 2 Delta_dbar，故調和形式按 (p,q) 型別分裂，給出霍奇分解、霍奇對稱 h^{p,q} = h^{q,p}，從而奇貝蒂數為偶——第四篇將把這套工具發展成完整的霍奇理論與強萊夫謝茨。