為什麼要組合語言？
從上一篇你已經知道，一個語言不是什麼神祕的東西，它就是某個字母表 Sigma（希臘字母 Σ，也就是我們固定允許使用的符號池）上的一組字串的集合。這個簡單想法之所以強大，正是因為它讓我們能沿用對集合所知的一切。如果語言是集合，那我們就能把兩個語言黏在一起、讓它們重疊、或把它們疊起來——就跟對普通集合取聯集、交集一樣。這些組合方式稱為語言上的運算，我們就是靠它把大而複雜的語言，從小而簡單的語言拼裝出來。
可以把它想成下廚。你不會靠逐一列出每個分子來寫食譜；你會用幾樣食材和幾個動作（切、拌、烤）來描述一道菜。語言上的運算就是那些動作。其中三個是主力：聯集、串接和克林星號。前兩個直接來自集合論與字串黏接，你都已經見過。第三個才是本篇真正全新的概念，也正是它悄悄地解鎖了「無限」。
三個主力運算
固定同一個字母表上的兩個語言 L 與 M。它們的聯集，寫成 L ∪ M，就是所有屬於 L 或屬於 M（或兩者皆是）的字串——就是普通的集合聯集，沒有意外。它們的交集 L ∩ M 則是同時屬於兩者的字串。它們的表現完全就跟你已熟悉的集合運算一樣，因為語言本來就是集合。唯一要記得的是：被取聯集的元素是字串，不是數字。
語言的串接就比較有意思。串接 L · M 是這樣一組字串：從 L 拿一個字串、從 M 拿一個字串，按這個順序黏起來所能得到的每一個字串：L · M = { x y ：x 屬於 L 且 y 屬於 M }。所以若 L = {a, ab}、M = {c, dd}，則 L · M = {ac, add, abc, abdd}。注意我們把每個 x 和每個 y 兩兩配對——二乘二的選擇給出四個結果。語言的串接，其實就是字串串接被「抬升」到整組集合的版本。
克林星號：為無限命名
串接把兩個語言黏一次。但如果我們想把一個語言和它自己黏起來，而且想黏幾次就黏幾次——零次、一次、兩次、一百次呢？這就是克林星號，用單一個星號寫成 L*。讀作「從 L 取出零個或多個字串，串接在一起」。形式上，L* 是「L 與自己串接 k 次」對每個從 0 起算的 k 取聯集。k = 0 這個情形特別、而且是刻意的：什麼都不串接會得到空字串，所以不論 L 是什麼，epsilon 永遠都在 L* 裡。
L = { ab }
L^0 = { epsilon } (glue zero copies)
L^1 = { ab }
L^2 = { abab }
L^3 = { ababab }
...
L* = L^0 U L^1 U L^2 U ... = { epsilon, ab, abab, ababab, ... }
L+ = L^1 U L^2 U L^3 U ... = { ab, abab, ababab, ... } (one or more; drops epsilon)有兩點值得強調。第一，即使 L 是有限的，L* 通常是無限的——{ab}* 就已經包含無限多個字串。用有限的描述命名一個無限的集合：這正是全部的魔法所在，也是為什麼有限的機器——自動機——能辨識無限的語言。第二，它有個近親，加號運算子 L+，意思是「一個或多個」而非「零個或多個」。唯一的差別在於 epsilon 是否被納入：L* = L+ ∪ {epsilon}。如果 epsilon 本來就在 L 裡，那 L* 和 L+ 就相等。
範例演練與幾點誠實的提醒
讓我們用這套工具做點真實的東西。取 Sigma = {a, b}。假設我們想要這樣一個語言：所有以一個 a 開頭、後面接任意個 b 的字串：a、ab、abb、abbb，依此類推。我們可以把它精確命名為 {a} · {b}*。從左讀到右：一個 a，黏上零個或多個 b。其中 {b}* 這部分貢獻了 epsilon、b、bb、bbb……；在每一個前面黏上一個 a，恰好得到 a、ab、abb、abbb……。不需要含糊地說「依此類推」——星號替我們把無限的工作，用有限的方式做完了。
- 從原子語言出發：{a}（一個字串）與 {b}（一個字串）。
- 對 {b} 套上星號得到 {b}* = {epsilon, b, bb, bbb, ...}——現在是無限的了。
- 在前面串接 {a}：{a} · {b}* 讓那個孤單的 a 與其中每一個字串配對。
- 結果恰好就是 {a, ab, abb, abbb, ...}，由一個有限的運算式描述出來。
在繼續之前說幾句誠實話。串接的引數順序很重要：L · M 一般不等於 M · L，就像「ab」不等於「ba」。星號不是可有可無的裝飾——L* 即使一個拷貝都不取，仍會給你 epsilon，所以加了星號的語言永遠不會是空的。也別把「無限」和「複雜」混為一談：{b}* 是無限的，卻極其簡單。反過來，一個正規語言不一定要是無限的；{a, b} 是正規的，而且恰好只有兩個字串。正規不代表無限，無限也不代表不正規。
為什麼這套工具是後續一切的根基
聯集、串接和星號不只是方便而已——它們正是正規表示式與正規語言的構件，也就是你將要攀登的喬姆斯基階層的第一級。稍後你會看到一個漂亮的事實：一個語言能用這三種運算命名出來，當且僅當有一台有限自動機能辨識它。所以現在精通語言上的運算，就是在精通你日後將打造的、最簡單機器的「文法」。
還有一個更深的理由值得在意。回想問題可以被編碼成語言這個想法：一個是非問題變成「這個輸入字串屬不屬於『答案為是』的那些實例所構成的語言？」。一旦問題成了語言，要求電腦去解它就變成了成員資格問題——某個給定字串屬不屬於某個給定語言？於是，語言上的運算就成了問題上的運算：組合、限制、轉換我們要求機器回答的那些問題本身。把這些工具練成反射，後續整門學科讀起來就像你早已會說的語言裡的一句句話。