串並聯走到盡頭之處
前兩篇你學會把一團糾纏的電阻折成單一數字，並用分壓／分流器去分配已知的電壓或電流。那很快，但它悄悄假設了每一團都是純粹串聯或純粹並聯。有些電路打破這個假設——最經典的搗蛋鬼就是惠斯登電橋，中間橫跨的那顆電阻不屬於任何乾淨的串聯或並聯群組。要解開任何電阻電路，連同電源在內，你需要兩條永不失效的定律。
第一條，克希荷夫電流定律（KCL），說在任何接點上，流入的電流恰好等於流出的電流——水不會在管路接點堆積起來。第二條，克希荷夫電壓定律（KVL），說若你繞著任一封閉迴路走一圈，把每一段的電壓上升與下降加總，你必然回到起點、回到同樣的高度，所以總和為零——就像健行者回到登山口時淨爬升為零。串聯與並聯，不過是這兩條定律最樸素的裝扮罷了。
克希荷夫電流定律：流入等於流出
想像一個有好幾根導線交會的點——一個節點。KCL 不過是在那裡仔細記帳：把每一股流進來的電流和每一股流出去的電流加總，兩邊必須精確到最後一微安都相等。為什麼？因為電流只是在移動的電荷，而電荷無法在一個光禿禿的接點上被產生、被消滅，或被儲存。常見的寫法是把流出節點的電流記為正、流入的記為負，然後規定它們的總和為零。
快速舉例：若有 5 mA 流入一個節點，而唯二的出路是兩個電阻分支，那麼這些分支電流必須加回 5 mA——也許一支 2 mA、另一支 3 mA。這正是第 3 篇的分流器，如今看成 KCL 與歐姆定律攜手合作。KCL 讓你能在一個有分岔的電路裡『跟著電流走』，而不會弄丟任何一毫安。
克希荷夫電壓定律：繞迴路一圈歸零
現在在電路中描出任一封閉迴路，邊走邊清點經過每個元件的電壓，上升記為正、下降記為負。KVL說，當你把迴路閉合時，這個累計總和必須回到零。健行的比喻完全貼切：電壓就像山丘上的高度，無論你越過多少凸起與凹陷，回到起點就意味著淨爬升為零。電源把『水』往高處推；電阻讓它落回低處，而上升與下降必須相抵。
再用數字：一個 12 V 電源在一個迴路裡接一顆 1 k 與一顆 2 k 電阻。繞它走一圈——在電源處上升 12 V，再在每顆電阻上下降——KVL 給出 12 = I times 1k + I times 2k，所以 I = 4 mA。壓降是 4 V 與 8 V，加起來正是整整 12 V，就如第 3 篇的分壓器所承諾。對單一迴路，光靠 KVL 就把答案交給你；要等迴路彼此共用分支、一條方程式不再夠用時，這些定律才開始變得有趣。
節點分析：解出節點電壓
當電路有好幾個節點時，最乾淨的手算法是節點分析。想法是：挑一個節點當參考——稱它為零伏特，也就是接地——再把其他每一個節點的電壓當成未知數。在每個未知節點寫下 KCL，並用歐姆定律把每股分支電流寫成（這個節點的電壓減去另一端的電壓）除以電阻。你會得到每個未知節點一條方程式，解開它們就一次得到所有節點電壓；個別電流接著由歐姆定律自然落出。
- 選一個參考節點（接地，0 V）——通常選分支最多的那個，好讓代數輕一點。
- 為其餘每個節點標上一個未知電壓（V_A、V_B、……）。
- 在每個未知節點寫下 KCL：令離開該節點的所有電流總和為零。
- 用歐姆定律把每股離開的電流寫成 (V_此 - V_彼) / R，其中 V_彼 是已知電源、接地，或另一個未知節點。
- 解這組方程式求出各節點電壓，回推你想要的任何分支電流，再檢查每個節點的 KCL 是否平衡。
node V
10 V o--[ R1 1k ]--+--[ R2 1k ]--o 2 V
|
[ R3 1k ]
|
--- GND (0 V)
KCL at V: (V - 10)/1k + (V - 2)/1k + (V - 0)/1k = 0解這條方程式：兩邊同乘 1k，它變成 (V - 10) + (V - 2) + V = 0，所以 3V = 12，V = 4 V。現在電流自然落出。10 V 分支載 (4 - 10)/1k = -6 mA（負號只代表它其實是流入節點，6 mA）；2 V 分支載 (4 - 2)/1k = 2 mA 流出；接地分支載 4/1k = 4 mA 流出。檢查 KCL：流入 6 mA 等於流出 2 mA + 4 mA。帳目平衡了——這最後一步檢查就是你的安全網。
網目分析，以及選對你的武器
鏡像的方法是網目分析：你不解節點電壓，而是為每個內部迴路——一張平面電路圖的每一片『窗格』——指定一個未知的環流電流，再繞每個迴路寫下 KVL。當兩個迴路共用一條分支時，真正的分支電流就是它們兩個迴路電流之差。它解的是同樣的電路，只是從電流側而非電壓側下手。有個小限制：這種簡單形式的網目分析只適用於平面電路——能畫成平面、沒有導線交叉的那種。
該拿哪一把？數一數未知數。節點少但迴路多的電路偏好節點分析；迴路少但節點多的電路偏好網目分析。節點法也與接地參考天然契合，等你遇到運算放大器（其中一個輸入端處於已知電壓）時會覺得像回到家。兩者給出完全相同的答案，所以挑能讓你少解幾條方程式的那一個。