米塔-列夫勒：指定極點

魏爾斯特拉斯的鏡像

上一篇指南從零開始造出一個帶有任意你指定的零點的函數：魏爾斯特拉斯因式分解定理接受一串往無窮遠跑去的指定零點 a_1, a_2, a_3, ...，並造出一個恰好在那些點消失的整函數。本篇指南問的是對偶的問題。不指定零點，改為指定極點——而且不只指定極點落在哪裡，還精確指定函數在每個極點上如何爆掉。答案就是米塔-列夫勒定理，魏爾斯特拉斯的極點側雙胞胎，也是建構性函數論的第二根支柱。

要精確說明「像這樣爆掉」是什麼意思，回想羅朗級數。在一個孤立奇點 z_k 附近，函數分裂成一個溫馴的部分（一個冪級數，在 z_k 處全純）加上一個主部——也就是負冪的有限尾巴 c_(-1)/(z - z_k) + c_(-2)/(z - z_k)^2 + ... + c_(-m)/(z - z_k)^m。那個主部就是一個極點的完整局部描述：它正是讓函數在那裡變成無窮的東西，而其餘一切都規矩。米塔-列夫勒的輸入，恰恰就是一串點，外加你釘在每一點上的一個主部。

天真的求和，以及它為何發散

這裡是顯而易見的第一招。你想要一個函數，它在 z_k 處的主部是某個 p_k(z) = c_(-1)/(z - z_k) + ... + c_(-m)/(z - z_k)^m。那就把它們全部加起來：f(z) = sum over k of p_k(z)。每一項 p_k 恰好在它自己的 z_k 上貢獻正確的爆掉，並在其他各處全純，所以若這個和收斂，它便是亞純的，並擁有你所訂的那些極點與主部。加法是這裡自然的運算，正如乘法之於魏爾斯特拉斯與零點。

但這個赤裸的求和通常發散。設想每個非零整數處都有一個極點，各為一個主部 1/(z - n) 的單極點。對固定的 z，當 n 很大時，1/(z - n) 這一項的行為像 -1/n，而 sum of 1/n 是調和級數——發散。極點確實往無窮遠跑去，但跑得不夠快：它們的尾巴縮小得不夠迅速，無法讓這個無窮和安定下來。這正是第一篇指南裡無窮乘積撞上的同一堵牆，也是魏爾斯特拉斯在第三篇指南裡必須攀越的同一堵牆。指定很容易；讓那份指定收斂才是全部的工夫所在。

修正之道：減去一個逼出收斂的多項式

魏爾斯特拉斯靠把每個因子乘上一個泰勒多項式的指數來馴服他的乘積——也就是基本因子。米塔-列夫勒則做加法的對應版本：他從每個 p_k 中減去一個多項式，抵消它衰減緩慢的尾巴，卻不動到極點本身。具體地說，把 p_k(z) 在 z = 0 附近展成泰勒級數（這是正當的，因為當 z_k 不為 0 時 p_k 在 0 附近全純），並令 q_k(z) 為該展開的前幾項。然後把每一項 p_k 替換成修正過的項 p_k(z) - q_k(z)。

為什麼減去一個多項式能讓極點原封不動？因為 q_k 是多項式——一個整函數，到處都沒有極點。減去它無法製造或摧毀任何奇點，也絲毫不改變 p_k 在 z_k 處的主部。它所做的，是殺掉 p_k 泰勒展開的前導項，使得一旦 |z_k| 很大，修正過的項 p_k - q_k 在任何固定圓盤上都極小——小到讓修正後的和 sum over k of (p_k - q_k) 在遠離極點處於緊緻集上一致收斂。緊緻集上的一致收斂，恰好就是保證極限再度全純（在極點之外）的條件，所以 f 確實是亞純的。

naive   :  f(z) = sum_k  p_k(z)                  -- right poles, but DIVERGES

fixed   :  f(z) = sum_k [ p_k(z) - q_k(z) ]      -- q_k = first terms of Taylor of p_k about 0

  * p_k(z)        principal part you prescribed at z_k  (the pole survives, untouched)
  * q_k(z)        a polynomial (entire, no poles) cancelling p_k's slow tail
  * the sum now converges uniformly on compacta away from the poles  ==>  f is meromorphic

米塔-列夫勒的妙招：從每個主部減去一個泰勒多項式以逼出收斂，同時讓每個極點原封不動。

逐步讀懂這份配方

讓我們依序把這個構造走一遍，好讓各個運轉的零件清晰起來。假設給你一些相異的點 z_1, z_2, ...，其 |z_k| 趨於無窮，並對每個點給一個主部 p_k。（這些點在任何有界區域內都不可聚集，否則極點便非孤立，結果也就不可能是亞純的。）此程序會產出一個亞純函數 f，恰好擁有那些極點與主部。

把極點排序使 |z_1| <= |z_2| <= ...，並把任何在原點的極點先擱在一旁，最後再加回去（它的主部不需要修正）。
對每個 k，把主部 p_k(z) 在 z = 0 附近展成泰勒級數；它在圓盤 |z| < |z_k| 上收斂，因為 p_k 在那裡全純。
選一個次數 n_k，令 q_k 為 p_k 直到 n_k 次的泰勒多項式。把 n_k 取得夠大，使得剩餘的 p_k - q_k 在圓盤 |z| <= |z_k|/2 上，比方說，小於 2^(-k)。
組成修正後的和 f(z) = sum over k of [ p_k(z) - q_k(z) ]。那些 2^(-k) 的界給出一個與幾何級數的比較，故尾部在每個避開極點的緊緻集上一致收斂。
結論：f 是亞純的，恰好在每個 z_k 處有一個極點，其主部即為所指定的 p_k，且無其他極點。

兩點誠實的提醒。第一，f 並不唯一——把任何整函數 g(z) 加上去，對極點或主部毫無影響，所以「那個」米塔-列夫勒函數其實是一整族，彼此相差一個整函數（正如魏爾斯特拉斯乘積只在乘上 e 的整函數次方下唯一）。第二，修正多項式 q_k 的選擇也不是被逼定的：任何讓和收斂的選擇都行，不同的記帳會以看起來不同的公式給出相同的極點。定理保證存在性與那些極點；它並不交給你一個唯一規範的答案。

招牌範例：餘切函數

最美的回報是一個你早已認識的函數。函數 pi cot(pi z) 是亞純的，在每個整數 n 處有一個單極點，而一次快速的留數檢查（餘弦除以正弦，正弦單純地消失）顯示每個極點處的留數為 1——所以它在 n 處的主部恰好是 1/(z - n)。那是一份完美的米塔-列夫勒輸入：所有整數處都有極點，各帶主部 1/(z - n)。而正如我們所見，那些主部天真的求和會發散。

施加那帖藥。對 n 處的極點，修正多項式是 1/(z - n) 在 0 附近的零階泰勒項，也就是常數 -1/n。減去它，修正後的項變成 1/(z - n) + 1/n，而把 n 與 -n 配對，便讓調和級數的麻煩相消：1/(z - n) + 1/(z + n) 合併成 2z/(z^2 - n^2)，它像 1/n^2 般衰減，求和得極漂亮。結果便是著名的餘切展開式：pi cot(pi z) = 1/z + sum over n>=1 of 2z/(z^2 - n^2)。這是一個道道地地的米塔-列夫勒級數，而第五篇指南將完整推導它，以及它對 csc、sin 的部分分式等等的表親。

退一步，看清這一階梯的整段弧。第一篇讓無窮乘積收斂；第二篇把一個函數的零點讀作分解所依的正確資料；第三篇（魏爾斯特拉斯）以乘法造出帶指定零點的函數。本篇是加法的鏡像——米塔-列夫勒造出帶指定極點的函數，而部分分式展開正是它日常的面貌。兩者合起來說了一件涵蓋甚廣的事：一個亞純函數，在差一個整函數修正之下，由它在零點與極點處的局部資料所決定。第五篇將把餘切兌現成你能用的具體恆等式。