全純即解析：泰勒定理

兩條路，竟是同一條

在本階梯的前兩篇裡，你是由外而內地搭建冪級數的：挑出係數 a_n，組成 sum a_n (z - z_0)^n，再問它在哪裡收斂。答案是一個乾淨的圓盤 |z - z_0| < R，即收斂半徑，在其內部級數表現得如夢似幻——你甚至可以逐項微分它，得到的仍是一個收斂的冪級數。所以一個冪級數在它的圓盤上，自動就是一個漂亮光滑的函數。這是第一條路。

現在走另一條路，也就是上一階梯那條。在那裡，你從一個全純函數 f 出發——它只是在某個開集上複可微——並透過柯西積分公式證明了它暗中竟是無窮可微的。泰勒定理正是宣告這兩條路會合的橋樑：每個全純函數，在它的每一點附近，「就是」一個收斂的冪級數。你一開始拿到的那個函數，與你寫下的那個級數，字面上是同一回事。

這條定理究竟主張什麼

以下是這條陳述，剝到只剩骨架。設 f 在某個開集上全純，z_0 是該集合中的一點。令 D 為以 z_0 為心、能塞進 f 所在集合的最大開圓盤。那麼對 D 中的每個 z，f(z) 都等於一個關於 (z - z_0) 的收斂冪級數，而且係數毫不神祕——每個 a_n 不過就是 f 在中心處的某階導數，除以一個階乘。這些就是泰勒係數，而該級數就是 f 在 z_0 附近的泰勒級數。

f(z) = sum_{n>=0} a_n (z - z_0)^n      for all z in D

        a_n = f^(n)(z_0) / n!

  a_0 = f(z_0)
  a_1 = f'(z_0)
  a_2 = f''(z_0) / 2
  a_3 = f'''(z_0) / 6 = f'''(z_0) / 3!
  ...

  D = largest open disk about z_0 inside f's domain

泰勒定理：全純的 f 在那個能塞進去的最大圓盤上，等於它自己的泰勒級數。

留意一下這白白送了你多少。因為冪級數可以逐項微分，擁有一個冪級數就意味著 f 自動具備每一階導數——這正是你先前見過的無窮可微，如今看成是級數的副產品，而非另一條獨立的定理。而係數公式 a_n = f^(n)(z_0)/n! 是被逼出來的：若一個函數等於某個冪級數，那級數就只能是它的泰勒級數。沒有任何自由度，沒有第二個冪級數來爭奪這份工作。

為何成立：引擎蓋底下的機械

你不必對泰勒定理照單全收——它的證明是一個由柯西積分公式搭起來的、簡短而優美的把戲。那條公式本來就讓你能從一圈圍住內部某點的圓上的 f 值，還原出 f(z)：f(z) 是 f(w)/(w - z) 沿圓的積分，再乘上 1/(2 pi i)。整個證明，就是把那個核 1/(w - z) 展開成一個關於 (z - z_0) 的幾何級數。

從 f(z) = (1/2 pi i) 乘以 f(w)/(w - z) dw 沿圓 |w - z_0| = r 的積分出發，其中 z 落在圓內。
改寫那個核：1/(w - z) = 1/[(w - z_0) - (z - z_0)] = 1/(w - z_0) 乘以 1/[1 - (z - z_0)/(w - z_0)]。
由於 z 在內而 w 在圓上，|(z - z_0)/(w - z_0)| < 1，故將最後那個因子展開成幾何級數 sum [(z - z_0)/(w - z_0)]^n。
把（均勻收斂的）求和與積分交換，再蒐集 (z - z_0) 的各次冪。乘在 (z - z_0)^n 上的，依導數的廣義柯西公式，正好就是 a_n = f^(n)(z_0)/n!。

關於那個證明，有兩點誠實的提醒。最後一步裡求和與積分的對調並非形式上的小事——它之所以合法，恰恰是因為對固定的內部 z 而言，幾何級數在圓上均勻收斂，正是你見過的那種讓逐項操作合法的在緊集上的均勻收斂。而圓的半徑 r 可以一路往外推到 f 仍保持全純的任何地方，這正是為何泰勒級數在整個最大圓盤 D 上都有效，而不只在一個怯生生的小鄰域裡。

一個小小的演算實例，以及圓盤在哪裡停下

取 f(z) = 1/(1 - z)，它在除了單一壞點 z = 1 之外處處全純。在 z_0 = 0 附近展開。其導數為 f^(n)(z) = n!/(1 - z)^(n+1)，故 f^(n)(0) = n!，泰勒係數為 a_n = f^(n)(0)/n! = 1。級數即 sum z^n——樸素的幾何級數——它恰好在 |z| < 1 時收斂。而 1 正好是從中心 0 到那個壞點的距離。圓盤並非任意停下；它停在 f 崩壞的最近處。

這裡有同一課的更銳利版本。考慮 f(z) = 1/(1 + z^2)，在 0 附近展開。作為 x 的實函數，它看起來溫馴極了——在整條實數線上光滑且有界，毫無作亂的跡象——然而它的泰勒級數只在 |x| < 1 時收斂，一代代微積分學生對這個半徑百思不解。複數的觀點瞬間解開了它：f 在 z = i 與 z = -i 處有奇點，各距原點 1，圓盤就是無法越過它們。在實數線上神祕的行為，在平面裡卻是顯而易見。

誠實地讀這條定理

幾點提醒，可防止這個強大的結果被記錯。其一，「f 等於它的泰勒級數」這句話只在圓盤 D 內部成立；在邊界圓上什麼都可能發生——級數可能收斂、發散，或收斂到一個看似不同的值，而釐清邊界是另一段微妙的故事。其二，圓盤的中心由「你」來選：把同一個全純的 f 在另一點 z_1 附近重新展開，會得到另一個泰勒級數，帶著它自己、或許更大的半徑。函數是同一個對象；它的泰勒級數則是局部的。

其三，也最重要：別把哪個方向才是深刻的那個給弄糊了。「一個收斂的冪級數是全純的」是容易的那一半——它直接由逐項微分推出。令人驚嘆的是反過來那一半：「全純蘊含一個冪級數」，也就是解析與全純是同一類的那個主張。這個逆命題是複數平面所特有的，奠基於柯西積分公式；它沒有實變數的對應，正如我們那個光滑卻不解析的例子所顯示。當有人說全純等於解析時，他們引的是一條定理，絕不是定義。

握有泰勒定理，本階梯其餘部分幾乎是自己寫成的。因為全純函數在局部就是一個冪級數，它的零點不可能擠成一堆——它們必須彼此分開而坐，這正是下一篇恆等定理的種子。又因為有效圓盤恰好伸到最近的奇點，半徑便成了量度麻煩落腳處的量尺，那是再下一篇的主題。下游的一切，都流自這一道等式：全純即解析。