三種行為，以及為何第三種是本質上不同的
到現在，孤立奇點的三分類已經很熟悉了：讀羅朗級數的主要部分，數它的負次冪。沒有就是可去，有限多就是極點，無窮多就是本性。本階梯的前兩篇帶你分辨它們、量它們的階。這最後一篇要談的是那第三個盒子究竟意味著什麼——因為「無窮多負次冪」聽起來像是個記帳上的細節，但它絕非如此。
有一個透過極限就能看出差別的乾淨方法，即極限判別法。在可去奇點處，函數保持有界，趨近一個有限的極限；你把洞填起來，然後走人。在極點處，不論你怎麼趨近 z_0，模 |f(z)| 都奔向無窮——它趨近單一而確定的極限，即無窮遠點。本性的情形恰好是剩下的那種：z 趨近 z_0 時 f(z) 的極限根本不存在，連無窮都不是。函數就是不肯安定下來。
認識那個狂野的傢伙：e^(1/z) 在原點
最乾淨的本性奇點是 f(z) = e^(1/z) 在 z_0 = 0 處。取尋常的指數級數 e^w = 1 + w + w^2/2! + w^3/3! + ...，代入 w = 1/z。你得到一個主要部分永不終止的羅朗級數：e^(1/z) = 1 + 1/z + 1/(2! z^2) + 1/(3! z^3) + ...。無窮多個負次冪，個個非零——按這個數法，這就是一個本性奇點，標準教科書的第零號例子。
現在看它如何拒絕安定。沿正實軸趨近 0，令 z = x 而 x 從上方趨於 0：那麼 1/z = 1/x 趨於 +無窮，於是 e^(1/z) 爆向 +無窮。改沿負實軸趨近，令 z = -x：那麼 1/z = -1/x 趨於 -無窮，於是 e^(1/z) 趨於 0。兩個不同方向，兩個截然不同的歸宿——一個無窮，一個為零。光是這一點就扼殺了任何「有單一極限」的希望，所以 0 不可能是可去奇點（沒有有限極限），也不可能是極點（那樣 |f| 得從每個方向都奔向無窮，但沿其中一個方向它卻趨於 0）。
但真正的震撼不在於極限不存在——而在於它「不存在」得有多徹底。隨便挑一個非零的目標值，譬如 w = 3 + 4i。我們能讓 e^(1/z) 在 z 要多靠近 0 就多靠近 0 的情況下命中它嗎？我們需要 1/z = log(3 + 4i)，而對數是多值的：log(3 + 4i) + 2 pi i k 對每個整數 k 都成立。隨著 k 變大，那些值奔向無窮，於是 1/z 變得很大，於是 z = 1/(log(3+4i) + 2 pi i k) 變得很小——可以任意靠近 0。在這奇點的每一個鄰域裡，函數都無窮多次命中 3 + 4i。而 3 + 4i 沒有任何特別之處。
卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯：像幾乎填滿整個平面
e^(1/z) 親手示範的事，一般情況下是一條定理。卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯定理說：若 z_0 是 f 的本性奇點，那麼在每一個去心圓盤 0 < |z - z_0| < r 上——不論你把 r 縮得多小——像 f(z) 在整個複數平面裡都是稠密的。稠密的意思是：對任何目標值 w 與任何容許誤差 epsilon，你都能找到一個那麼靠近 z_0 的 z，使 |f(z) - w| < epsilon。在任何緊貼奇點的微小圓環裡，函數都一次又一次地逼近每一個值，差距小到只剩一根頭髮。
證明是一個漂亮而短小的反證法，完全倚靠你早已理解的可去與極點這兩種選項。假設像不稠密。那麼繞著某個值 w 的某個圓盤被完全錯過：在去心鄰域上 |f(z) - w| 始終離 0 至少 delta 之遠。構造 g(z) = 1 / (f(z) - w)。因為 f - w 從不靠近 0，g 在 z_0 附近有界，於是由黎曼定理，g 在那裡有可去奇點——g 全純地延拓。那麼 f = w + 1/g，從 g 讀出 f 的奇點，便逼使它是可去的或是極點，絕不是本性的。這與我們的假設矛盾，所以像終究必須是稠密的。
皮卡定理：稠密甚至還不是全部的真相
卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯說函數會任意逼近每一個值。令人震驚的大皮卡定理說它做得遠不止於此：在本性奇點附近，f 其實取到每一個複數值——而且無窮多次——至多只有單獨一個例外。不是逼近；是相等。在每一個去心鄰域裡，不論多小，方程 f(z) = w 對除了至多一個例外值以外的每個 w 都有無窮多個解。
我們的例子顯示這個例外是真實且無法避免的：e^(1/z) 在任何地方都不為零（指數函數永不為零），所以 w = 0 正是它確實跳過的那一個值。其餘每個複數，它在繞著 0 的任何圓盤裡都無窮多次命中，正如我們親手對 3 + 4i 所發現的那樣。漏掉一個值，其餘全都無窮多次取到——這就是那份狂野的精確面貌。還有一條與之全域對應的表親，小皮卡定理：一個非常數的整函數至多漏掉一個複數值（e^z 同樣只漏掉 0）。小皮卡定理正是把大定理套用到每個非多項式整函數藏在無窮遠處的那個本性奇點上所得到的。
near an essential singularity z_0:
Casorati-Weierstrass : image is DENSE in C (comes arbitrarily close to every w)
Great Picard : ATTAINS every w in C, (equals every w, infinitely often,
except at most one value with at most one exception)
example e^(1/z) : the skipped value is w = 0 (e^w is never 0)這把你帶到何處，又指向何方
退後一步，整個階梯便連成一氣。羅朗級數給你主要部分；數它的負次冪，就把每個孤立奇點分入可去、極點或本性；零點與極點的階度量那些溫順的情形；亞純函數則是只准出現極點的那個行為良好的世界。本性奇點恰是亞純函數所禁止的——而現在你明白它們為何被禁：單獨一個本性點，就讓函數在它周圍的任一圓環裡造訪（幾乎）整個平面，這與亞純函數所要求的、在無窮遠處井然有序的取值行為互不相容。
有一條值得點名的鬆散線頭：我們一直說的是孤立奇點，一個四周環著乾淨好行為圓環的壞點。並非每個奇點都是孤立的——沿著割線的 Log z，或 sin(1/z) 在 0 處（那裡的奇點是其他奇點的極限）行為就不同，落在這整套分類之外。羅朗級數的這套機器，正是專為孤立情形打造的工具；尊重這條邊界，是正確使用它的一部分。
向前看，任何羅朗級數那單獨一個係數 a_{-1}——主要部分的首項——即將以留數之姿登上中心舞台，而下一階梯會把它變成一台機器，用來算出那些你用實變方法永遠攻不下的實積分。你在這裡遇見的狂野，也匯入更深的值分佈理論（皮卡定理是它的門戶）。但就本階梯而言，圖像已然完整：可去、極點、本性——三種真正不同的種類，而你現在理解那第三種不再只是一個標籤，而是一場擠進任意小圓環裡的值的暴動。