一個謹慎放行的小許可
到這裡，你已經能從任何孤立奇點的羅朗級數把它讀出來，並歸入三個盒子之一：可去奇點（沒有負次冪——這函數其實一直好好的）、極點（只有有限多個負次冪——它以一種乾淨、受控的方式衝向無窮），或本性奇點（無窮多個負次冪——純粹的混沌）。一個在開集上的全純函數一個這種點都沒有；它依定義就是無奇點的。本篇的構想，是把這份純淨「剛好」鬆開一格。
鬆開的方式是這樣的。若 f 在某區域上除了一組孤立點外都全純，且在每個那種點上奇點都是極點——絕不是本性的——我們就說 f 在該區域上是亞純的。可去奇點甚至不算數：我們直接把它補回去、忘掉它。所以一個亞純函數就是「除了一些極點之外都全純」。名字本身就點明了：「亞」取「次一等、不完全」之意，相對於代表「完整」的「全」純，是刻意的對照。
局部是一個商：全純除以全純
還有第二種描繪亞純函數的方式，往往比定義更好用：在每一點附近，它看起來都像一個全純函數除以另一個全純函數。要看出為何如此，回想一下取倒數時零點與極點如何互換位置——那是上一篇的功課。若全純的 g 在 z_0 有一個 m 階零點，則 1/g 在該處有一個 m 階極點，反之亦然。於是一個商 g/h（其中 g、h 全純且 h 不恆為零）在 h 非零處全純，而恰好在 h 為零處有極點（除非 g 把它約掉）。這正是亞純的形狀。
f(z) = g(z) / h(z) g, h holomorphic, h not identically 0
h(z_0) != 0 -> f holomorphic at z_0
h has zero of order m at z_0, g(z_0) != 0
-> f has a POLE of order m at z_0
example: f(z) = (z + 3) / (z - 1)^2
pole of order 2 at z = 1, zero at z = -3這個「商」的圖像立刻把這個世界填滿了例子。每個有理函數 p(z)/q(z)——多項式除以多項式——在整個平面上都是亞純的，極點落在 q 的根上。正切 tan z = sin z / cos z 是亞純的，極點落在 cos z 為零的那些 pi/2 的奇數倍處。函數 1/sin z 是亞純的，在每個 pi 的整數倍處都有一個單極點。Gamma 函數與黎曼ζ函數也都是亞純的。這個類非常龐大，幾乎涵蓋你會遇到的每一個有名字的函數。
為何這個類住起來如此舒適
全純函數對加法與乘法封閉，卻「不」對除法封閉——除以一個全純函數，你可能造出極點，於是逃出了全純的世界。亞純函數恰好補上了這道缺口。把兩個亞純函數相加，得到的是亞純函數；相乘，也一樣；如今把一個除以另一個（只要底下那個不恆為零），你「仍然」得到一個亞純函數。那些作除數的零點只不過變成新的極點，而極點是被允許的。用代數的語言說，一個區域上的亞純函數構成一個體（域）——是包含全純函數的、最小的封閉而自足的世界。
讀出極點處的值：主要部分
即便在極點處，亞純函數也並非真正無定義——它有一個完全確定的值，也就是無窮，而一旦你採用黎曼球面，這個「無窮」便成了字面意義上的值。在那裡，無窮遠點是一個如假包換的點，而一個在 z_0 有 m 階極點的函數，會把 z_0 平滑地映到那個點。從這個觀點看，亞純函數不過是一個映入「球面」而非「平面」的全純映射：在極點處它並不「斷裂」，它只是落在平面所欠缺的那一個額外的點上。極點是一項特徵，而非一場失敗。
在整體上，亞純函數在每個極點附近都帶著一套優美的帳本，封裝在它的主要部分裡——也就是該處羅朗級數中那一截有限的負次冪項。把每個極點連同它的主要部分都知道了，就一次掌握了 f 所有的奇異資訊。對於行為良好的亞純函數，你甚至能從這些零件把整個函數重組回來：一個有理函數，字面上就等於它各主要部分之和再加上一個多項式——這正是你很久以前學過的部分分式展開，如今被揭示為一句關於極點的陳述。
- 找出 f 的每一個極點及其階數——這些是 f 唯一離開全純世界的地方。
- 在每個極點 z_k 處，讀出主要部分：負次冪項 b_1/(z - z_k) + b_2/(z - z_k)^2 + ...，一直到該極點的階數為止。
- 把所有主要部分從 f 中減去；剩下的東西已沒有任何極點，因此是全純的（若 f 在整個平面上亞純，則為整函數）。
- 對有理函數而言，那個全純的餘項不過是一個多項式——把它加回去，你就從極點重建出了 f：這便是部分分式展開。
亞純讓你能數的東西
因為亞純函數只有孤立的零點與孤立的極點，且每個都有有限的階，你可以給每一點繫上一個整數：在零點處為正（它的階），在極點處為負（負的階），其餘處處為零。這份「零點減極點」的單一計數，竟掌控了多得驚人的東西。它是留數演算的核心；而透過後面某一階梯的輻角原理，f'/f 沿一圈迴路的積分，字面上就數出（內部的零點）減（內部的極點）。「只有極點、且皆為有限階」這份良好行為，正是讓這種計數得以運作的關鍵。
甚至還有一門逆向的工藝：你可以「建造」一個亞純函數，把極點安排在你喜歡的任何地方、配上你選定的任何主要部分，只要這些極點不在某個有限點處堆積即可。這便是 Mittag-Leffler 定理的內容，是部分分式想法在加法上的表親。所以亞純函數不僅俯拾即是——它們還可以照單訂製，是一種讓你能事先指定其奇異骨架的設計品。