沿著路徑積分

為什麼平面需要一條路徑

在普通的微積分裡，從 a 到 b 的積分沿著唯一的一條路走——實數線上兩個數之間的那一段。平面寬敞得多。要從點 a 走到點 b，你可以走一條直線、一道大弧、一個先繞原點一圈的迴路、一條鋸齒線——無窮多條真正不同的旅程。所以平面上的積分不能只報出兩個端點；它必須報出整條路徑，而這條路徑是問題的一部分。這是本階梯第一個、也是最重要的觀念調整。

我們要追求的對象是圍道積分，通常寫成 f(z) dz 沿曲線 C 的積分。你該這樣讀它：沿著 C 走，一邊走一邊把 f 的值累積起來，並以你每一步所作的微小複數位移 dz 為權重。因為 f(z) 與 dz 都是複數，每一份小貢獻 f(z) dz 也都是複數，連同方向一併齊全——而積分就是這所有貢獻的累進複數和。這已經暗示了：方向與定向會以實數線上從未有過的方式變得重要。

從曲線到普通積分：參數化

你究竟要如何把這種東西算出來？你把它化約成一個你早已會做的微積分積分，方法是擺上一個時鐘。一條參數化路徑是一個函數 z(t)，當實參數 t 從 a 跑到 b 時，描出曲線 C——z(a) 是起點，z(b) 是終點，而 z(t) 是你在時刻 t 所在之處。這正是上一階梯曲線與弧的觀點，如今派上用場。位移 dz 變成 z'(t) dt，也就是描點的速度乘上一小片時間。

integral over C of  f(z) dz

    = integral from t=a to t=b of  f( z(t) ) * z'(t) dt

z(t)  : parametrized path,  z(a)=start,  z(b)=finish
z'(t) : velocity of the tracing point (a complex number)

參數化把一個圍道積分變成關於實變數 t 的複數值函數的普通積分。

在右邊，你現在有一個在實區間 [a, b] 上的普通積分，被積的是一個單實變數的複數值函數。這你按分量來做：把實部與虛部分開來積，正如你在整段旅程一開始所學的。所以圍道積分要算出來從不神祕——它總是只差一次代換就成了純粹的微積分。技藝在於挑一個方便的參數化，而不在於任何新種類的積分。

繞原點一圈的算例

我們來做本門學問裡最重要的一個例子，而且具體地做。取 C 為逆時針描一次的單位圓，繞著它把 f(z) = 1/z 積起來。用歐拉公式以最自然的方式參數化圓：z(t) = e^(i t)，t 從 0 到 2 pi。那麼速度是 z'(t) = i e^(i t)，而在圓上 f(z(t)) = 1 / e^(i t) = e^(-i t)。把它們乘起來，看那些指數函數塌縮。

組出被積式：f(z(t)) * z'(t) = e^(-i t) * i e^(i t) = i，因為 e^(-i t) e^(i t) = e^0 = 1。被積式就是常數 i。
對 t 從 0 到 2 pi 積分：i dt 的積分 = i * (2 pi - 0) = 2 pi i。
結論：(1/z) dz 沿單位圓的積分等於 2 pi i——斬釘截鐵地不是零。

那個乾淨的答案 2 pi i 值得停下來細品。它不依賴半徑——改用 z(t) = R e^(i t) 重做，那些 R 互相約掉，又回到 2 pi i。它是本階梯與下一階梯一切的種子：留數的構想、迴路繞了幾圈的計數、從邊界值恢復一個函數。把它放進口袋。我們還沒有本錢說明為什麼對別的函數來說這類積分常常恰好為零——那是第四篇的笑點——但你已經能感覺到 1/z 之所以特殊，正因為它在迴路內部的那個原點處並不乖。

讓它規矩的那些性質

一小套基本性質讓你像處理普通積分一樣輕鬆地擺弄圍道積分——而它們全都由參數化定義即刻推得，因為一旦你站到右手邊，那就只是微積分。第一，線性：(a f + b g) 沿 C 的積分等於 a 乘 f 的積分加上 b 乘 g 的積分，其中 a、b 是複常數。你可以照常把和拆開、把常數提出來。

第二，定向反轉：若你把同一條曲線倒著走，從 b 到 a，每個位移 dz 都變號，所以沿反向路徑 -C 的積分恰好是沿 C 的積分的負值。這正是平面上定向為何要緊的精確陳述——順時針描的單位圓給出 1/z 的積分為 -2 pi i。第三，分段可加性：若 C 是 C_1 接上 C_2（第一段的終點是第二段的起點），那麼沿 C 的積分等於沿 C_1 的積分加沿 C_2 的積分。正是這一點，讓你能用簡單的弧拼出任何多邊形或分段光滑的圍道，再把各部分加起來。

對大小的初步掌握，以及接下來是什麼

你常常不需要積分的精確值——你需要知道它很小，或者它趨向零。為此有一個簡單卻極其有用的界。若 |f(z)| 在 C 上處處都不超過某個數 M，而 C 的總長為 L，那麼整個積分的大小不可能超過 M 乘 L。這就是 ML 不等式，其直覺是誠實的記帳：你在加總總長為 L 的位移，每一份所帶的值其模至多為 M，所以總和的模至多為 M L。把三角不等式推廣到積分，便完成其餘的論證。

你現在握有一名實作中的複分析學者從本篇需要的三樣東西：對沿路徑積分清楚的意義、靠參數化把它算出來的可靠配方，以及線性、反轉、可加性三條規則——外加用來估大小的 ML 界。請特別帶著兩個事實往下走。1/z 繞原點一圈的積分是 2 pi i，而一般而言路徑是資料的一部分。從這裡道路分岔通向某種美妙的東西：第三篇我們問被積函數何時有原函數、路徑何時不再要緊——路徑無關性；第四篇我們會遇見柯西積分定理，也就是「對全純函數，封閉迴路的積分恰好為零」這項陳述。你剛剛算出的例子，正是那個揭示這份奇蹟能及與不能及之處的例外。