為同一個點命名的兩種方式
在上一篇你學會把一個複數 z = x + i y 看成複平面上的一個點——先向右走 x，再往上走 y。這是它的直角命名法：沿兩條互相垂直的軸量出兩段距離。但還有第二種同樣誠實的方式指向同一個點：說它離原點多遠、朝哪個方向。這兩個數就是模 |z|（距離）與輻角 arg z（從正實軸逆時針量起的角度）。
簡單的直角三角形三角學把這兩種命名繫在一起。從 z 向實軸作垂線，得到一個三角形：水平邊長 x、垂直邊長 y、斜邊 r = |z|。於是 x = r cos theta 而 y = r sin theta，其中 theta = arg z。反過來讀，r = sqrt(x^2 + y^2)，而角度滿足 tan theta = y / x。點與它的兩種描述永不矛盾；我們只是選擇要寫下哪一對數而已。
代回去就得到 z 的極式：z = r (cos theta + i sin theta)。這跟你一開始的數一模一樣，只是換上了距離與方向的衣裳。直角式最適合做加法（實部對齊、虛部對齊），但你馬上會看到，乘法之所以突然變簡單，正是在極式之中。
歐拉公式：通往指數的橋樑
現在登場的，是整門學問裡最有用的一條等式。歐拉公式說 e^(i theta) = cos theta + i sin theta。右邊正是極式裡的那個括號，於是一切可壓縮成 z = r e^(i theta)。距離化為前面的大小 r；方向化為棲身指數中的角度 theta。它從何而來？把 i theta 代入指數的冪級數，再把各項分成不含 i 的與含 i 的兩堆：不含 i 的那堆重組成餘弦級數，帶 i 的那堆重組成正弦級數。歐拉公式就是把這道重組寫成一行。
令 r = 1，畫面便清晰起來：e^(i theta) 是單位圓上輻角為 theta 的那個點。讓 theta 一路繞到 2 pi，你就回到出發點，這已暗示輻角只在整圈的差別內才確定。把 theta 推到 pi，你落在 -1，於是有了那條著名的 e^(i pi) + 1 = 0——五個常數，一句真話。
乘法化為旋轉並縮放
回報就在這裡。取兩個極式中的數，z = r e^(i alpha) 與 w = s e^(i beta)。相乘時，大小相乘而角度相加——因為冪相乘時指數相加：z w = r s e^(i (alpha + beta))。白話說，乘以 w 就是轉動 w 的角度、放縮 w 的大小。這正是旋轉縮放映射的全部內容：每個複數骨子裡都是一道指令「轉這麼多、伸縮這麼多」。
z = r e^(i a), w = s e^(i b) z w = (r s) e^(i (a + b)) sizes multiply, angles add z/w = (r/s) e^(i (a - b)) sizes divide, angles subtract
兩個小例子讓這變得生動。乘以 i = e^(i pi/2) 是逆時針的四分之一轉而大小不變：這正好說明了 i^2 = -1（兩個四分之一轉就是半轉，把 1 送到 -1）。而乘以一個正實數，例如 3 = 3 e^(i 0)，則是純粹的伸長而不轉動。其餘每個複數都把這兩個動作摻在一起。也請留意，除法不過是把角度的時鐘往回撥：z / w 把大小相除、把角度相減。
棣莫弗：乘冪不過是重複的轉動
若乘以 z e^(i theta) 是轉 theta，那麼再乘一次就再轉一個 theta，依此類推。因此把 z = r e^(i theta) 升到 n 次冪，就是把大小自乘 n 次、把角度自加 n 次：z^n = r^n e^(i n theta)。用餘弦與正弦寫出來便是棣莫弗定理：(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)。在直角式裡會是一場可怕的二項展開，在極式裡卻只是把角度乘上一個整數。
跑個小例子。要算 (1 + i) 的立方：它的模是 sqrt(2)、輻角是 pi/4，所以它是 sqrt(2) e^(i pi/4)。取立方，大小變成 (sqrt(2))^3 = 2 sqrt(2)、角度變成 3 pi/4。那個點是大小 2 sqrt(2)、角度 3 pi/4，換回直角式就是 -2 + 2 i。不必硬展二項，只要「把大小乘三次、把角度加三次」。
- 把 z 寫成極式：讀出模 r = |z| 與一個輻角 theta = arg z。
- 升起大小：新的模是 r^n。
- 把角度乘起：新的輻角是 n theta（若想落在標準範圍，就減去整圈的 2 pi）。
- 需要時換回去：z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta)) = r^n cos(n theta) + i r^n sin(n theta)。
倒著跑，以及角度那悄然的微妙
棣莫弗也能倒著用，而下一篇正是從這裡開講。若升到 n 次冪是把角度乘 n，那麼取 n 次根就必須把角度除以 n——又因為輻角只在整圈的差別內確定，便有 n 個不同的起始角度在乘上 n 之後都落在正確的位置。這正是為何一個複數的 n 次根有 n 個相異的值，也是為何單位根像正多邊形的頂點那樣等距排在單位圓上。第 5 篇會把這一切完整展開。
要當心一個誠實的陷阱：角度確實是多值的，而方程 tan theta = y / x 沒法告訴你身在哪個象限。數 1 + i 與數 -1 - i 給出相同的比值 y / x = 1，卻坐落在平面相反的兩側。要把輻角釘死，你必須看 x 與 y 的正負號，而不只是它們的比。這同一種多值性延伸到函數上，便是你日後會遇到的複對數與分支割線的種子——眼下只要尊重一件事：arg z 是一族角度，不是單一個數。
再帶兩個值得隨身攜帶的合理性檢查。第一，共軛是對實軸的反射，在極式裡不過是把角度反號：若 z = r e^(i theta)，則 z-bar = r e^(-i theta)。第二，e^(i theta) 的模永遠是 1，絕不可能是別的，因此它永遠不為零——指數在平面上處處不為零。記牢這個核心畫面：距離住在前頭，方向住在指數裡，而乘法就只是旋轉並伸縮。