從公式到圖像
你已經知道一個 複數 z = x + i y 是由兩個實數組成的，而在上一篇指南中，你學會了純粹用代數來對它們做加法、乘法與共軛。現在我們給這套代數一個家。取一個普通的平面，把水平軸標為「實」、垂直軸標為「虛」，並把 z 畫在座標為 (x, y) 的點上。這幅圖就是 複數平面——阿岡圖——從此以後，每個複數都是一個你可以指向的位置。
於是你在第 2 篇指南中遇到的兩個部分，變成了一個點的兩個座標：實部 Re z = x 是你往右走多遠，虛部 Im z = y 是你往上走多遠。你從小熟悉的整條實數線，就只是這個平面的水平軸，作為 y = 0 的那些特殊點嵌在其中。複數並沒有取代實數；它們環繞著實數。
點，還是箭？兩者皆是
讓複數平面強大的小小想法是這樣的：一個數 z 既是位於 (x, y) 的一個 點，也是一個 向量——一支從原點 0 指向該點的箭。點的版本適合說「z 住在這裡」。箭的版本適合說「z 如何移動事物」。同一個 z，兩種讀法，你可以按需要在它們之間自由切換。
箭的讀法立刻解釋了加法。在上一篇指南中，z + w 就是把實部相加、把虛部相加。從幾何上看，這正是你做向量加法的方式：把 w 的箭平移，使它的尾端落在 z 的尖端，z + w 就是指向新尖端的那支箭。兩種繞法都畫一遍，你會得到一個平行四邊形——z + w 就是它的對角頂點。這就是為什麼 複數加法 感覺如此自然：它就是穿著代數外衣的普通向量加法。乘法也有它自己的幾何，但那是下一篇指南裡旋轉與縮放的故事了。
長度與方向：模與輻角
如果 z 是一支箭，它就有長度與方向。長度是 模 |z| = sqrt(x^2 + y^2)——正是從原點到該點的畢氏距離，也就是你在第 2 篇指南裡用代數算出的那個 |z|，現在揭示為一把實實在在的尺所量出的長度。方向則是這支箭與正實軸所夾的角，以逆時針量度；這個角就是 輻角 arg z。
合起來，（長度，方向）跟 (x, y) 一樣能完全確定 z——它們就是極座標，而把 z 用它們改寫出來，就是你會在下一篇指南正式遇到的 極式。關於角度有一個誠實的陷阱。一支指向某方向的箭，轉一整圈後並無改變，所以 arg z 只在相差 2 pi 的任意整數倍下才有定義。並沒有單一「正確」的輻角；arg z 是一整族相差整圈的角。
若要得到單一數值，你就選一個寬度為 2 pi 的窗口，並在其中讀取角度；通常的選擇是 主輻角 Arg z，取在 -pi 到 pi 的區間。這個選擇方便，但並非毫無後果：當 z 越過負實軸時，主值會突然從接近 pi 跳到接近 -pi。這個小小的跳躍，正是日後困擾複對數的分支割線的第一個警訊——早在代數逼我們為它命名之前，幾何就已對這道接縫誠實以告。
共軛是一面鏡子
共軛 z-bar = x - i y 把虛部的符號翻轉，而讓實部保持不變。在平面上這是一個乾淨俐落的動作：把 z 對實軸作鏡射，就像沿著水平線把紙對折。位於軸上方的點落到下方等距處，而本就在軸上的點——一個純實數——則完全不動。
這幅鏡子圖像，讓第 2 篇指南中的兩個事實從需要背誦變成顯而易見。第一，鏡射不改變箭的長度，所以 |z-bar| = |z|。第二，鏡射把角 theta 送到 -theta，所以 arg(z-bar) = -arg z。而乘積 z 乘以 z-bar，你曾用代數算出等於 x^2 + y^2，現在就只是 |z|^2——長度的平方——這正是為什麼除以 |z|^2 是把共軛變成倒數的那個訣竅。
z = x + i y point above the real axis z-bar = x - i y its mirror image below |z-bar| = |z| reflection keeps length arg(z-bar) = -arg z reflection flips the angle z * z-bar = |z|^2 real, equal to the squared length
三角形、直線與圓
一旦加法成了箭頭的滑動，一個著名的不等式就變成一幅你幾乎能感受到的圖像。要從 0 走到 z + w，你可以沿著平行四邊形的對角線直走，或走那條先沿 z 再沿 w 的折線。折線永遠不會更短，這正是 三角不等式：|z + w| <= |z| + |w|。等號只在 z 與 w 指向同一方向、沒有彎可省時成立。這就是「直線是最短路徑」這個尋常事實，用複數記號寫出來而已。
距離也給了我們一套描述形狀的驚人簡潔語言，這正是 平面上的直線與圓 這個想法所掌握的。以點 z_0 為圓心、半徑為 r 的圓，就只是所有與 z_0 距離等於 r 的 z——以符號寫就是 |z - z_0| = r，一條俐落的方程，取代了通常展開後雜亂的 x 與 y。而一條直線在精神上是與兩點等距的集合；舉例來說，|z - a| = |z - b| 恰好描述了與 a 和 b 等距的點，也就是連接它們的線段的垂直平分線。
- 想要一個區域，而不只是一條曲線？把「=」換成不等式。|z - z_0| < r 是圓內的開圓盤——每一個與 z_0 的距離嚴格小於 r 的點。
- |z - z_0| > r 是外部，即圓之外那片無界的區域。
- Im z > 0 是上半平面（實軸上方的一切）；Re z > 0 是右半平面。這些半平面與圓盤，正是複分析大半戲碼上演的舞台。
當平面還不夠用時
平面是個美麗的舞台，但它有一道安靜的缺口：它沒有容納「無限遠處」的位置。當 |z| 無限制地增大，箭頭只是衝出紙外，而不同方向衝向不同的邊緣，所以並沒有單一一個你正趨近的點。對許多問題——映射 z 到 1/z 在 0 附近做了什麼，或是直線與圓究竟有何關聯——那個缺席的目的地，正是我們所需要的。
解法是加上一個額外的點，記作 infinity，並約定：朝任何方向走遠，都趨近於這同一個單點。這就給出了 無窮遠點，而看清它最乾淨的方式，是把這平面披覆到一個球面上：平面的每個點都對應到球面上的一點，而那唯一的北極就代表無窮。那個球面就是 黎曼球面，也是本階最後一篇指南的主題——眼下，只需記住一個念頭：這平面有一個天然的屋頂。