e^z 究竟該是什麼意思？
在實數線上，e^x 有清楚的意義，但「把 e 升到一個複數次方」並不是靠反覆相乘能造出來的東西——你沒辦法把 e 自乘「i 次」。所以我們不靠算術的類比去定義複指數函數；我們靠 e^x 那條能撐過往平面遷徙的性質來定義它：它的冪級數。我們令 e^z = sum z^n / n!（n 從 0 起），就是你為 e^x 認識過的那條級數，如今餵進一個複數 z。這條級數對平面上每一個 z 都收斂，所以 e^z 處處都有意義。
因為這條級數處處收斂，e^z 處處可微——它是一個整函數，在整個平面上全純，完全沒有壞點。而且它保住了我們想要的招牌性質：逐項微分把級數移回它自己身上，所以 (e^z)' = e^z。指數函數依舊是自己的導數，只是如今在平面上成立。它也保住了加法律 e^(z + w) = e^z e^w，這條律直接從兩條級數相乘掉出來；正是這一條恆等式，驅動了本階梯裡幾乎每一個計算。
把 e^z 拆成模長與角度
級數是誠實的定義，卻不是你拿來算的方式。把 z = x + i y 寫出來，再用加法律：e^z = e^(x + i y) = e^x e^(i y)。第一個因子 e^x 是尋常的實指數，一個正數。第二個因子 e^(i y) 交給歐拉公式 e^(i y) = cos y + i sin y 處理，那是你在上一階梯認識過的。於是複指數函數完整地分解成一個實增長項與一個純旋轉。
z = x + i y e^z = e^x ( cos y + i sin y ) |e^z| = e^x (the modulus, always positive) arg e^z = y (the argument, an angle)
直接把幾何讀出來：模長 |e^z| 等於 e^x，而輻角 arg e^z 等於 y。換句話說，e^z 恰好就是那個與原點相距 e^x、位於角度 y 的點。這正是一個複數的極式，白白送到你手上——這也是為什麼指數函數是把任意複數寫成 r e^(i theta) 的天然語言。一個小例子：e^(1 + i pi/2) = e^1 (cos(pi/2) + i sin(pi/2)) = e 乘 i = e i，直挺挺地落在虛軸上、高度為 e 處。
意外之處：e^z 會重複
現在來看這件沒有實變數對應的事實。給輸入加上 2 pi i：e^(z + 2 pi i) = e^z e^(2 pi i)。但 e^(2 pi i) = cos(2 pi) + i sin(2 pi) = 1 + 0 i = 1。所以 e^(z + 2 pi i) = e^z。複指數函數是週期函數，週期為 2 pi i。沿虛軸方向直直向上（或向下）跨 2 pi，你就落在完全相同的輸出上。這就是指數函數的週期性，初次見到時著實古怪：那個在實數線上一次也不重複的函數，到了平面上，竟成了一個無止盡重複的函數。
一旦有了極式的圖像，原因就不再神祕。把 y 改變 2 pi，輻角就轉了整整一圈——而整整一圈會把每個點帶回它出發的地方。增長因子 e^x 紋風不動，因為 x 沒變。所以加上 2 pi i 把輸出整整旋轉一圈，再把它放回自己身上。實指數從沒察覺到週期性，只因實數線沒給你旋轉的餘地；而虛軸方向正是那塊缺席的餘地。
兩件你絕不能忘的事實
第一：e^z 永不為零。它的模長是 |e^z| = e^x，而實指數 e^x 對每個實數 x 都嚴格為正——它能在 x 趨向負無窮時縮向 0，卻永遠到不了 0。既然輸出的大小永不為 0，輸出本身就永遠不是 0 這個點。這條指數函數永不為零看似一句小註腳，卻是承重的：它正是為什麼對數能定義在整個去心平面上，也是為什麼 log z 必須跳過 0 這單獨一點。
第二，一個關於觸及範圍的警告：e^z 並不像你可能以為的那樣覆蓋整個平面。因為 |e^z| = e^x 可以是任意正數，而 arg e^z = y 可以是任意角度，輸出掃遍每一個非零複數——但只有非零的那些，而且每一個都被無窮多次命中（每條帶子各一次）。所以指數函數把平面映滿去心平面，是無窮對一的。把這拿來和實數情形對照：那裡 e^x 是一對一的，且漏掉每一個非正數。同一個記號，觸及範圍卻全然不同。
這兩件事實合起來，就鋪好了接下來幾章的舞台。無窮對一意味著指數函數沒有單一、誠實的反函數——把它反過來的那個東西，複對數，被迫成為多值的，每條帶子各一個值。而永不為零則意味著這個反函數對除了 0 之外的每一個目標都有定義。你已經能感覺到第 3 篇的形狀正在成形：log z 將會是「這個輸出是從哪條帶子來的？」——一個有無窮多個正確答案的問題。
週期性向外擴散之處
本階梯裡幾乎每一個初等函數都由 e^z 造出，所以 2 pi i 的週期性會傳染。複三角函數是透過指數函數定義的——cos z = (e^(i z) + e^(-i z))/2，sin z = (e^(i z) - e^(-i z))/(2 i)——所以它們沿實軸方向繼承了 2 pi 的週期，正如你所料。但因為它們是喬裝的指數函數，它們也繼承了沿虛軸方向的無界增長，那正是緊接著下一篇的意外。
這裡有一套快速可靠的例行步驟，供你在實務中運用指數函數——把任意 z 化成大小與角度的形式，再化回來。
- 給定 z = x + i y，把它拆開：實部 x 與虛部 y。
- 算出模長 |e^z| = e^x（一個正實數）與輻角 arg e^z = y（一個角度）。
- 組裝出值：e^z = e^x (cos y + i sin y)。若你只需知道輸出落在哪裡，把 y 模 2 pi 化簡即可。
- 反過來，要把給定的非零 w 寫成 e^z，取 e^x = |w|（所以 x = ln|w|），y = arg w——但要記得 y 只確定到可加 2 pi 為止，這份多值性正是日後的對數。