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開映射定理

一個非常數的全純映射，永遠不可能把一個區域壓扁成一條曲線或一個點——它總是把開集送到開集。本篇要說明這一件事如何直接從輻角原理掉出來，以及它為什麼悄悄地逼使最大模原理非真不可。

「開映射」到底在主張什麼

這就是它的陳述，乾淨而出人意料地強。若 f 在一個連通開集上是全純的且非常數，那麼 f 是一個開映射：它把每一個開集送到一個開集。說白了，這意味著若 w_0 = f(z_0) 是 f 取到的任何一個值，那麼 f 也取到 w_0 附近的每一個值 w——像裡面含著一整個繞 w_0 的小圓盤，而不是 w_0 孤零零地坐在什麼都沒有的邊上。一個區域的像本身也是一個區域，絕不會是更薄的東西。這就是開映射定理。

要感受這有多強，看看它對實函數失敗得多徹底。實數線上的映射 x -> x^2 完美地光滑，卻把開區間 (-1, 1) 送到半開區間 [0, 1)：值 0 在像裡，但繞 0 的任何區間都不在，因為沒有東西映到負數去。一個光滑的實映射會摺疊、會壓平、會把某個輸出值釘死在它值域的邊界上。一個非常數的全純映射做不到這其中任何一件事。複數的 z^2 把單位圓盤鋪滿了每個值（包括 0）的一整個鄰域——困住實 x^2 的那種摺疊，在二維實平面裡根本無處可躲。

證明不過是把魯歇定理盯在一點上看

這一階梯講的一切都是在數 f(z) = 某值 的解，而「開」恰好就是一句計數陳述：我們必須證明，對於 w_0 附近的每一個目標 w，方程 f(z) = w 在 z_0 附近至少有一個解。固定一點 z_0 使 f(z_0) = w_0，並看那個平移後的函數 g(z) = f(z) - w_0。它在 z_0 有一個零點，比方說是 m 階，所以 g 在那裡為零但 g 不恆為零。由恆等定理，一個非常數全純函數的零點是孤立的，所以我們能在 z_0 周圍畫一個小圓 C，使 g 在其上完全沒有別的零點。

因為 g 在 C 上沒有零點，模 |g| 在那個圓上有某個正的最小值——叫它 delta > 0。現在挑任何一個滿足 |w - w_0| < delta 的目標 w，並在 C 上比較兩個函數：原來的 g(z) = f(z) - w_0，以及擾動後的 F(z) = f(z) - w。它們的差是 F - g = w_0 - w，一個大小小於 delta 的常數。於是在邊界 C 上，|F - g| < delta <= |g|。這最後一個不等式，正好就是上一篇魯歇定理的前提：當一個函數沿著整條 C 都壓過它與另一個函數之間的差距時，兩者在內部有同樣多的零點。

on the small circle C around z_0:

   g(z) = f(z) - w_0   has m zeros inside C   (all at z_0)
   F(z) = f(z) - w     differs from g by   |F - g| = |w_0 - w| < delta <= |g|

   Rouche  =>   F has the SAME m zeros inside C

   i.e.   f(z) = w   has m solutions near z_0,   for EVERY w with |w - w_0| < delta
「開」就是把魯歇定理用在一點上：每個與 w_0 相距小於 delta 的值 w，都在 z_0 附近被取到 m 次，所以整個圓盤 |w - w_0| < delta 都落在像裡。

把結論讀出來。函數 g 在 C 內有 m 個零點，所以 F = f - w 在 C 內也有 m 個零點——意思是 f(z) = w 在 z_0 附近有 m 個解，特別是至少有一個。這對圓盤 |w - w_0| < delta 裡的每一個 w 都成立。所以我們那個 z_0 小鄰域的像，含著一整個繞 w_0 的圓盤。這正是 f 在 z_0 處為開映射的定義，而 z_0 是任取的。輻角原理保證了「繞法相同的鄰近函數有相同的零點數」；「開」不過是把這份保證，兌現在以目標 w 漂移為參數的單參數族 f - w 上罷了。

局部次數：每個值恰好被取到 m 次

再看一眼貫穿整個證明的那個整數 m——它帶的資訊比「非空」要多。我們證明了 f 在 z_0 附近恰好取每一個鄰近的 w 共 m 次（連同重數），其中 m 是 f(z) - w_0 在 z_0 的零點的階。那個 m 就是 f 在 z_0 的局部次數：在局部，f 表現得像一個 m 對 1 的覆蓋，把 z_0 的一個鄰域繞著 w_0 包了 m 圈。它就是那個操控輻角原理計數的同一個 m，只是現在讀在單獨一點上，而不是繞著一條大圍道讀。

當 m = 1 時——這是典型情形，f'(z_0) 不為零——f 在局部是一對一的，而那正是通往下一篇反函數定理的門。當 m >= 2 時，映射就真的摺疊了：在 f - w_0 的一個二重零點附近，它表現得像 w_0 + (z - z_0)^2，於是點成對出現，z_0 處的角度被加倍。取 f(z) = z^3 在原點：每個 0 附近的值 w 在 0 附近恰好有三個立方根，局部次數是 3，而原點處一個張角 theta 的小楔形，在像裡張開成一個張角 3 theta 的楔形。這映射仍是開的——三個解就是至少一個還綽綽有餘——只是它恰好在那一點不可逆罷了。

為什麼這逼出最大模原理

這裡有個漂亮的回報。最大模原理說，一個非常數全純函數，永遠不可能在其定義域的某個內點取到 |f| 的最大值——最大的 |f| 總是住在邊界上。你也許看過用均值性質來證它。而開映射定理讓它幾乎一目了然，只需一行幾何。

  1. 為了導出矛盾，假設 |f| 在某個內點 z_0 取到了內部最大值——也就是說，定義域裡沒有任何一點產生比 w_0 = f(z_0) 模更大的輸出。
  2. 由開映射定理，像含著一整個繞 w_0 的開圓盤。特別是，它含著一些剛好落在圓 |w| = |w_0| 外側、離原點稍遠一點的點。
  3. 那些點的模嚴格大於 |w_0|。所以 f 確實取到了一個模更大的值——這與 w_0 是最大值相矛盾。
  4. 唯一的脫身之道，是 f 一開始就沒有開的像——也就是 f 是常數。因此一個非常數全純函數不會取到模的內部最大值。

這畫面令人無法抗拒：若像永遠是一團胖胖的開塊、沒有任何屬於它自己的邊界點被捕在定義域內，那麼沒有任何輸出能是個最遠的點——總有個鄰居再往外探出一根頭髮。最大模原理，不過就是開映射定理拒絕讓任何輸出坐在像的邊緣上。同樣的邏輯用在 f 沒有零點之處，便給出最小模的陳述：此時 1/f 全純且為開映射，所以 |f| 也不能取到內部最小值，除非那最小值就是零。

誠實的細則，以及它通往何處

有兩個值得釘牢的提醒。第一，開不等於閉：全純映射把開集送到開集，但它們不必把閉集送到閉集，反過來也不連續。一個閉圓盤的像可以是一個閉區域，也可以是更亂的東西；乾淨的陳述只關乎開定義域。第二，「開」完全活在作為目標的複平面裡。它是一個二維實的現象——它對實數線上的 x^2 失敗，原因正是那條線沒有『側向』的空間讓像鋪展開來。拿掉一個維度，摺疊就又冒出來了。

把這條定理與劉維爾定理配對來看也很值得，好從兩側同時看出這些映射有多剛硬。劉維爾說一個有界的整函數是常數——像不能太小（被困在一個有界集裡）。開映射說一個非常數的像不能太薄（塌縮到更低的維度）。全純性從兩個方向擠壓一個函數：它必須鋪展開來，卻又不准飛到無窮去，除非它放棄掙扎、變成常數。沒有任何實變函數有接近這般的約束。

最後，本篇為這道階梯的最後一階鋪好了路。我們看到局部次數 m 把世界分成兩半：m = 1 意味著局部一對一，m >= 2 意味著一次真正的摺疊。下一篇、也是最後一篇，會聚焦在友善的 m = 1 情形，那裡 f'(z_0) 不為零，並證明 f 此時有一個全純的局部反函數——複反函數定理，正是我們剛遇到的摺疊的乾淨逆命題。「開」保證解存在；局部單射性則會保證解唯一且光滑，從而補全全純映射如何行事的局部圖景。