電子是一道波
要理解接下來的怪異，你必須牢牢抓住一個量子觀念：電子不是一個小小的撞球。它同時也是一道波——一道鋪展開來、有波峰有波谷的機率漣漪，能做普通波所能做的一切。它能繞過拐角流動，能與自身疊加，而最關鍵的是，它能干涉：一道波的兩部分相遇，峰對峰時彼此加強，峰遇谷時彼此抵消。這不是詩；這是被測量出來的事實，也是本講一切的引擎。
在一塊完美晶體裡，一道電子波幾乎毫髮無傷地滑過——整齊的重複方格讓波乾乾淨淨地通過，這正是好晶體之所以是好[[metal|金屬]]的原因。上一講我們看到，零散的[[defect|缺陷]]會絆住波、讓它慢下來，降低[[mobility|遷移率]]。一個自然的預期很簡單：添更多無序，讓電子被散射得更頻繁，導電就穩步變差——一場平滑、漸進的下滑。1958年，物理學家菲利普·安德森證明，這個讓人安心的預期是錯的。取而代之發生的，是某種突兀而驚人的事。
一片由隨機丘陵組成的地貌
把電子想像成一顆滾過一片地貌的彈珠。在完美晶體裡，那片地貌是一塊平滑、規則起伏的地板——彈珠能在上面永遠輕鬆地滾動。現在把地板弄得無序：在上面鋪滿高低深淺隨機、毫無圖案、四處散落的丘陵和坑窪。物理學家把這種雜亂的地形叫作[[random-potential|隨機勢]]——「勢」指電子必須翻越的那片能量地貌，「隨機」指它的起伏不遵循任何井然的規則。這正是一種重度無序材料天然的電子地貌，比如一塊塞滿雜質的金屬，或一種非晶合金。
波的本性正是在這裡咬下去。當電子波在這片隨機地貌中鋪展時，它不斷地在每一個凸起上分裂、散射，朝四面八方送出小小的漣漪。那些被散射的漣漪沿著無數條繞圈的路徑行進，又回到它們出發的地方。而奇妙之處在於：一道波和它時間反演的孿生兄弟——同一個圈倒著走一遍——回家時總是完美地步調一致，峰對著峰。當它們在出發點重新會合時，彼此加強。波被拽回老家的力道，遠強於它被允許遊蕩出去的力道。
把自己困住的那道波
當無序較輕時，這股回家的牽引只是一個小小的修正——電子稍微更可能滯留一會兒，但它終究還是能穿過材料。可一旦把無序調過一個臨界的量，這股牽引就徹底獲勝。回返的波加強得如此壓倒性，逃逸的波抵消得如此徹底，以至於電子波再也無法鋪展開來。它的機率堆疊成一個固定的團塊，在某一點上最鼓，並在不遠處衰減到零。電子被卡住了——不是變慢、不是延遲，而是真真切切地被釘在原地，永遠。這種自我囚禁，就是[[anderson-localization|安德森局域化]]。
好好體會這有多奇怪。沒有任何東西在抓著電子——沒有牆、沒有籠子、沒有把它按住的力。它被困住，純粹是因為它自己在隨機地貌中干涉的漣漪所構成的幾何。無序並不去抓那個電子；它只是把事情安排成：電子的波在除了老家以外的每一處都把自己抵消掉。而一旦每個電子都像這樣被局域化，它們就沒有一個能把電流送過材料。一種按其化學本應是導電金屬的物質，於是變成了一個完美的[[insulator|絕緣體]]——僅僅被無序變成了絕緣體，成分絲毫未變。
- 電子是一道波；在完美晶體裡，它自由地鋪展、自由地導電。
- 隨機勢讓波沿著無數條繞圈的路徑被散射。
- 回到起點的波彼此加強；試圖逃逸的波彼此抵消。
- 一旦無序超過臨界的量，波就凍結在一個固定的點上——它被局域化了——導電隨之停止。
遷移率邊：能量中的一道邊界
真實材料很少是全有或全無的。在一塊部分無序的固體裡，有些電子被困住，另一些卻仍能遊蕩——而一個電子落得哪種命運，取決於它的能量。低能量的電子坐在隨機地貌的坑底，太虛弱、爬不出來，於是被局域化。高能量的電子騎在那些凸起之上，從崎嶇的地形上方揚帆而過，於是仍自由地導電。在這兩群電子之間，橫著一條明確的分界能量，把被困的和自由的分隔開來。
那條分界線有個名字：[[mobility-edge|遷移率邊]]。在它以下的電子是局域的、不載電流；在它以上的電子是擴展的、能導電。這是無序物理中最乾淨的想法之一：一個單一的能量，把一種材料的電子劈成兩個截然不同的世界。一種無序材料表現得像金屬還是像絕緣體，往往就歸結於它的電子恰好填到了遷移率邊的哪一側。
逃出陷阱，以及一幅更大的圖景
如果每個電子都被凍在原地，那麼一種局域化的材料究竟是怎麼導一點電的——而且它在被加熱時確實能導一點點？答案是一種完全不同的機制。一個被困的電子，可以從材料的溫熱裡借來一點能量，猛地做一次量子跳躍，跳到附近一個空著的陷阱裡，然後再跳一次，一跳一跳地慢慢挪過固體。這種走走停停的爬行，叫作[[hopping-conduction|跳躍導電]]。它遲緩無力，而且當你把材料朝絕對零度冷卻時它會漸漸消失——這與正常金屬恰好相反，金屬是越冷導電越好。這種反過來的溫度特徵，正是局域化在起作用的最清晰的指紋之一。
最後一樁奇蹟。安德森局域化其實根本不只關乎電子——它關乎波。任何穿過隨機介質的波，都能以同樣的方式把自己困住：渾濁晶體裡的光、雜亂固體裡的聲、甚至粗糙海面上的漣漪，或者糾結迷宮裡的微波。研究者們已經捕捉到光和聲恰如理論所預言的那樣凍結在原地。所以這不是電子的一個怪癖；它是關於隨機性對波做了什麼的一條深刻而普適的真理。安德森的洞見，遠遠超出了他最初出發的那塊金屬。
到目前為止，我們的無序凍住了原子的位置（玻璃）和波的運動（局域化）。在最後一講，我們要轉向第三種、更加微妙的無序：不是關於東西坐在哪兒，而是關於它們想指向哪邊、想如何彼此達成一致。當相互競爭的規則把一個系統朝著它永遠無法同時全部滿足的方向拉扯時，我們就得到了阻挫、自旋玻璃，以及那些會有序、卻從不重複的圖案。原來，這團亂還留著最後一手要展示給我們看。