一個持續了幾十年的謎題
麻煩就在這裡。如果金屬裡真的裝著一團自由電子氣，那麼給金屬加熱就該讓所有這些電子抖動得更厲害，從而吸收大量熱量——正如給空氣加熱會讓它的分子嗡嗡亂竄一樣。德魯德的經典圖像預言的正是如此。但實驗卻說不：金屬裡的電子幾乎不給它的熱容添什麼分量。彷彿它們中的絕大多數都拒絕察覺金屬已經被加熱了。幾十年來，沒人能解釋這是為什麼。
答案直接來自上一篇裡的費米海。深處的電子被困住了——它們周圍的每個狀態都被佔據，所以連一丁點熱量也接不下。只有費米面附近那層薄薄的電子，正上方有空著的狀態，才能吸收暖意。整片海幾乎都被排除在這場遊戲之外。
數一數架子：態密度
為了把這件事說精確，我們需要一種數數的辦法。再次想像那一摞放著可用運動狀態的架子。有些能量區間裡架子密密麻麻地擠在一起，另一些區間裡卻只有寥寥幾層。態密度數的正是這個：在每一小薄片能量裡，有多少個可用的狀態。態密度高，意味著這段能量區間裡塞了好多座位；態密度低，則意味著座位稀疏。
最要緊的，是恰好處在費米能上的態密度——也就是水位線那一處可供使用的座位數。這一個數字，決定了當你擾動金屬時——無論是用熱、用電、還是用磁場——有多少電子能夠自由地響應。它是整個固體物理中最有用的量之一。
只有表面那群電子感受得到熱
- 把金屬稍微加熱。每個電子分到的可用熱量，相比費米能微乎其微。
- 只有處在費米面附近那一小條能量帶之內的電子，才能找到空著的狀態躍入。
- 更深處的電子被填滿的鄰居困住，什麼也吸收不了。
- 於是在所有電子中，只有極小一部分真正儲存了熱量。
這就是電子熱容——電子本身所能儲存的熱量。由於只有表面那薄薄一群參與其中，它算出來遠小於德魯德的經典猜測，與實驗嚴絲合縫。而且它帶著一個標誌性的指紋：它隨溫度筆直地、溫和而線性地增長，而不像經典氣體那樣保持平直。哪怕在今天，測量這種溫和的線性上升，仍是窺探費米面處態密度的最乾淨的辦法之一。
同一招，這回用在磁性上
完全相同的邏輯，還能解釋一個更安靜的效應。每個電子都帶著一個微小的磁矩——可以把它想成一根極小的指南針。在外加磁場中，一根自由的針會很樂意轉過去順著磁場指，從而降低自己的能量。但大多數電子被鎖在費米海裡、成對配著、針針相消，它們若不做那個被禁止的、跳進已佔據狀態的動作，就無法翻轉。
又一次，只有表面那群電子能自由響應。費米面附近的少數電子讓自己的針重新對準磁場，從而使金屬獲得一股微弱而穩定的、朝磁場方向的磁性吸引。這個微弱的效應叫做泡利順磁性。它之所以微弱，正是因為獲准參與的電子如此之少——而它的大小，同樣由費米面處的態密度決定，還是那個之前的「總管」數字。
一個念頭，多重回報
退一步，欣賞一下：僅憑一個洞見，竟能跑出這麼遠。不可共享的規則凍結了深海，只在表面留下薄薄一層活躍的電子。這一個念頭，既解釋了電子熱容為何又小又隨溫度線性上升，也解釋了金屬在泡利意義上為何只有微弱磁性——而且若讀法得當，它甚至直接把態密度的測量值遞到你手裡。把表面那群電子數清楚，金屬對熱、對電、對磁的響應便都各就各位了。
在最後一篇裡，我們要讓這群表面電子上場，擔綱那齣重頭戲：導電。正是這同一批電子，既搬運電荷又搬運熱量；同時追蹤這兩件事，會引出整個固體物理中最優雅的結果之一——一條簡單到幾乎像是巧合的定律，卻恰恰從自由電子的圖像裡水到渠成。