積分是求導的逆運算——而且更難
要找 f 的原函數，問的其實是：哪個函數的導數等於 f？求導有可靠的法則，能把任何表達式碾成它的斜率。反過來走，更像是「有章法的猜測」——你認出一個形狀，然後把本會產生它的那條法則倒推回去。正因如此，積分確實是一門手藝，而非一套配方。好消息是：兩種逆向技巧就能覆蓋你日後遇到的絕大部分積分，而且二者都直接來自你已經掌握的法則。
換元法：把鏈式法則倒過來
鏈式法則說 d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)：當你對一個嵌套函數求導時，會多掉出一個因子 g'(x)。換元法就是這門手藝——在積分裡認出那個多出來的因子，再把裡層函數收回去。做法是把裡層改名為 u，即 u = g(x)，du = g'(x) dx。如果積分確實是 f'(g(x)) g'(x) dx，這些零件就會嚴絲合縫地對齊，原本在 x 裡亂糟糟的積分，就變成一個在 u 裡乾乾淨淨的積分。
- 目標：求 2x cos(x^2) dx 的積分。棘手的是裡層 x^2，而注意它的導數 2x 正好作為一個因子擺在那裡。令 u = x^2。
- 於是 du = 2x dx——正好就是被積式剩下的部分。代換得：2x cos(x^2) dx 的積分 = cos(u) du 的積分。
- 在 u 裡積分：cos(u) du 的積分 = sin(u) + C。再把 u 換回 x^2：答案是 sin(x^2) + C。
- 求導驗證：d/dx sin(x^2) = cos(x^2) 乘 2x——正是原來的被積式。鏈式法則確認無誤。
分部積分法：把乘積法則倒過來
當被積式是兩個互不相關函數的乘積時——比如 x 乘 e^x，或 x 乘 ln(x)——換元法通常會失敗，因為沒有哪個裡層函數的導數藏在剩餘部分裡。補救之道來自把乘積法則倒過來。由於 (uv)' = u'v + uv'，對兩邊積分並整理，就得到分部積分法公式：u dv 的積分 = uv - v du 的積分。你用一個算不動的積分換來一個（但願更簡單的）積分，代價是那個簡單的乘積項 uv。
整盤棋的關鍵在於：選哪個因子當 u（你會對它求導），哪個當 dv（你會對它積分）。一個好用的口訣是 LIATE：讓 u 優先選「對數、反三角、代數、三角、指數」中排在最前面的那個因子。道理是：你希望 u 求導後變得更簡單，而 dv 是你真的能積出來的東西。在 ln(x) 與 x 之間選 u = ln(x)；在 x 與 e^x 之間選 u = x。
integral of x e^x dx (Algebraic times Exponential -> u = x) u = x, dv = e^x dx du = dx, v = e^x = uv - integral of v du = x e^x - integral of e^x dx = x e^x - e^x + C
integral of x ln(x) dx (Logarithmic wins -> u = ln x) u = ln x, dv = x dx du = dx/x, v = x^2 / 2 = (x^2/2) ln x - integral of (x^2/2)(1/x) dx = (x^2/2) ln x - integral of (x/2) dx = (x^2/2) ln x - x^2/4 + C
一個誠實的界限：不是什麼都能寫出初等積分
這裡有件教科書有時會藏起來的事。每個連續函數確實都有原函數——這由微積分基本定理保證。但對許多再普通不過的函數，那個原函數沒法用初等函數寫出來（多項式、根式、指數、對數、三角函數及其組合）。經典的例子有 e^{-x^2}（鐘形曲線）、sin(x)/x，以及 1/ln(x)。再聰明的換元或分部積分也永遠收不了它們，因為根本不存在初等公式——這是已被證明的事實，不是你功力的缺口。