反常積分：積到無窮遠

當普通規則不夠用時

你到目前為止算過的每一個定積分，都生活在一個整整齊齊的有限區間 [a, b] 上，而且函數在整段路程中都保持有限。於是微積分基本定理把答案以 F(b) - F(a) 的形式交給你。但有兩件事能打破這份整齊。區間可以伸到無窮遠——integral from 1 to infinity of something。或者函數可以在區間內部某處衝向無窮——比如 1/sqrt(x) 恰好在 x = 0 處。無論哪種情形，F(b) - F(a) 這個符號都不再真的說得通，因為根本沒有一個誠實的端點可以代進去。

帶有上述任一特徵的積分，叫做[[improper-integral|反常積分]]（也叫廣義積分）。「反常」不是貶義——它只是提醒你：之前學的那個定義在這裡不能直接套用。於是我們使出微積分裡屢試不爽的那一招：用一個[[limit-at-infinity|極限]]悄悄逼近這個問題。

定義：先積到一堵牆，再把牆推開

把這個技巧說精確。要從 1 一直積到無窮遠，你並不能神奇地抵達無窮。你的做法是：先積到一堵可移動的牆 x = b——這是一個普通的、性質良好的定積分，你早就會算了。然後你問：當你把牆 b 一路滑向無窮遠時，那個數會怎樣。如果那個數安定到一個單獨的有限值 L，我們就說這個反常積分收斂到 L。如果它無止境地增長或者永遠安定不下來，我們就說它發散。

integral from a to infinity of f(x) dx  =  lim b->infinity  ( integral from a to b of f(x) dx )

  converges  ->  the limit is a finite number L
  diverges   ->  the limit is infinite, or does not exist

函數無界的那種情形做法完全一樣，只是從另一側靠近。如果 f 在 x = a 處爆掉，你就把牆起在離麻煩點稍微遠一點的地方——從 a + t 積到 b——然後讓 t -> 0，慢慢爬向那個壞點。哲學相同：永遠不要直接碰那個危險位置；通過極限去逼近它，看面積是否保持有限。

震撼時刻：1/x^2 收斂，1/x 發散

現在到了真正令人驚訝的部分。想象 x = 1 右邊的兩條曲線 y = 1/x 和 y = 1/x^2。兩者都永遠向零下降；兩者都圈住一條無限長的細面積。你的直覺大概會說：一個無限長的區域一定裝著無限的面積。你的直覺對了一半。這兩個積分的表現截然不同——而唯一能弄清楚的辦法，就是取極限。

1. 收斂的情形：integral from 1 to b of 1/x^2 dx = [-1/x] from 1 to b = -1/b + 1 = 1 - 1/b。當 b -> infinity 時，1/b 這一項消失，所以極限是 1。1/x^2 下方一直到無窮遠的總面積恰好是 1——有限的！它收斂。
2. 發散的情形：integral from 1 to b of 1/x dx = [ln x] from 1 to b = ln(b) - ln(1) = ln(b)。當 b -> infinity 時，ln(b) 永遠在往上爬——爬得慢，但沒有任何天花板。極限是無窮，所以 1/x 下方的面積無界。它發散。

於是兩條看起來幾乎一模一樣的曲線——都在向零消失——卻走向了相反的命運。決定勝負的因素是函數收縮得有*多快*。1/x^2 衰減得足夠快，它的尾部面積加起來是一個有限的總和；1/x 向零爬得就慢了那麼一絲絲，它無盡的尾巴便無限制地累積。收斂與發散的全部戲劇性，都活在那道刀刃般的分界上。

通往「把無窮多個東西加起來」的橋

再看一眼剛剛發生了什麼。你把*無窮*多的東西加了起來——面積一直伸展到永遠——並問：這個累計的總和會不會逼近一個有限的數。這恰恰就是下一條學習線在等著你的問題。把曲線下方那片光滑的面積換成一串一個接一個相加的離散數字，你就得到了一個[[infinite-series|無窮級數]]：像 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... 這樣永不終止的和。

其中的邏輯可以原封不動地搬過去。一個級數當它的部分和（先是 1，然後 1 + 1/4，再是 1 + 1/4 + 1/9，……）逼近一個有限極限時收斂，否則發散——用的是完全相同的「收斂/發散」措辭，完全相同的極限思想。甚至有一條定理（積分判別法）用 1/x^2 的反常積分來證明和 1 + 1/4 + 1/9 + ... 收斂，又用 integral 1/x 的發散來證明那個著名的調和級數 1 + 1/2 + 1/3 + ... 發散。這兩個故事其實是同一個故事。

import math

# integrate 1/x^2 up to a moving wall b, watch it settle toward 1
for b in [10, 100, 10000, 10**8]:
    print(b, 1 - 1/b)        # -> 0.9, 0.99, 0.9999, ~1.0   (converges to 1)

# integrate 1/x up to the same walls, watch it climb forever
for b in [10, 100, 10000, 10**8]:
    print(b, math.log(b))    # -> 2.3, 4.6, 9.2, 18.4 ...   (no ceiling -> diverges)