微積分基本定理

兩個本不該相遇的世界

到目前為止，你已經見過兩台非常不同的機器。導數接收一個函數，告訴你它的瞬時斜率——它此刻變化得有多快。定積分接收一個函數，把它下方的面積加起來，這面積是越來越細的矩形所構成的黎曼和的極限。一個講的是陡峭，另一個講的是累積。沒有任何明顯的理由說這兩者之間該有什麼關係。

然而微積分基本定理卻宣告：它們是同一枚硬幣的兩面——微分與積分互為逆運算，就像加法抵消減法、平方抵消開方一樣。正是這條結論把整門學科繫在了一起，而它確實令人驚嘆——牛頓和萊布尼茨在它之上建起了現代科學。

第一部分：累積函數和它的斜率

從一個函數 f 出發，定義一個全新的函數 A，讓它一邊走一邊累積面積：A(x) = integral from a to x of f(t) dt。把它讀作「從固定的左端 a 到會移動的右端 x，f 下方已經堆積了多少面積」。當你把 x 往右推時，A 在增長。問題是：A 增長得有多快？

直覺是這樣的。把 x 再往右輕輕挪一點點，挪一個寬度 h。你掃進來的那塊多出來的面積，是一條幾乎正好是矩形的細條：高為 f(x)、寬為 h，所以大約是 f(x)*h。這意味著 A 的變化量除以 x 的變化量大約是 f(x)*h / h = f(x)。取 h -> 0 的極限，這個近似就變成了精確等式。於是 A 的變化率——也就是它的導數——恰好就是 f 本身。

                d   ( integral from a to x of f(t) dt )  =  f(x)
               dx

  differentiating an area-so-far function gives back the original function

第二部分：終結苦工的捷徑

第一部分是那條深刻的真理；第二部分是每天都用的工具。它說：要算一個從 a 到 b 的定積分，你不必去硬啃黎曼和的極限。換個做法：找到 f 的任意一個原函數 F（任何滿足 F'(x) = f(x) 的函數），然後只要把它在兩端的取值相減就行：integral from a to b of f(x) dx = F(b) - F(a)。

停下來想想這有多奇怪。左邊是一個無窮的、精細的求和過程；右邊是兩個數相減。定理保證它們相等——每一次都相等。為什麼可以用「任意一個」原函數？因為同一個 f 的兩個原函數之間只相差一個常數，而這個常數在相減 F(b) - F(a) 時被抵消掉了。所以你儘可以挑最簡單的那一個。

integral from a to b of f(x) dx  =  F(b) - F(a),   where F'(x) = f(x)

shorthand:   integral from a to b of f(x) dx  =  [ F(x) ]  from a to b

一個你能信得過的算例

我們來求 f(x) = x^2 從 x = 0 到 x = 3 之間下方的面積——這正是那種用加矩形的辦法做起來會很折磨人、但用第二部分一行就搞定的題目。

1. 找 f(x) = x^2 的一個原函數。因為 x^3 的導數是 3x^2，所以函數 F(x) = x^3 / 3 滿足 F'(x) = x^2。很好——這就是我們要的 F。
2. 在上端求 F 的值：F(3) = 3^3 / 3 = 27 / 3 = 9。
3. 在下端求 F 的值：F(0) = 0^3 / 3 = 0。
4. 相減：integral from 0 to 3 of x^2 dx = F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9。完成——根本不需要無窮求和。

# sanity check: a crude Riemann sum should creep toward 9
def riemann(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return sum(f(a + (i + 0.5) * dx) * dx for i in range(n))

f = lambda x: x**2
print(riemann(f, 0, 3, 1000))   # ~ 8.99999..., closing in on the exact 9