貫穿一切的那個想法：累積
你已經認識了定積分，把它當作黎曼和的極限：把一個量切成許多薄片，把這些薄片加起來，再讓薄片的寬度趨向零。「曲線下方的面積」只是第一個例子，因為每個矩形貢獻的 f(x)*dx 恰好長得像一塊面積。但並沒有誰規定 dx 一定要量圖上的寬度。真正的動作永遠是同一套——切片、相乘、再求和——而積分就是這個和在極限下變成的東西。
所以本指南裡每一個應用的套路都是：想清楚一個薄片貢獻了什麼，把這份貢獻寫成（某個東西）乘以 dx，然後積分。如果一個薄片貢獻的是一段長度，你得到面積；如果它貢獻的是一塊面積，你得到體積；如果它貢獻的是一小段路程，你得到總路程。積分號不過是把無窮多個無窮小碎片清點起來的機器。
曲線之間的面積，以及旋轉出的體積
先看兩條曲線之間的面積。設在從 a 到 b 的區間上，上方曲線 f(x) 位於下方曲線 g(x) 之上。位置 x 處的一條豎直細條，高為 f(x) - g(x)（上減下），寬為 dx，所以它貢獻 (f(x) - g(x)) * dx。把這些細條加起來再讓它們變細，你就把面積寫成了一個積分。先把 g 減掉，正是即使兩條曲線都落到 x 軸下方時這套辦法依然成立的原因。
area between curves = integral from a to b of ( f(x) - g(x) ) dx
\__top minus bottom__/
slice contribution: height * width = ( f(x) - g(x) ) * dx現在把一塊區域繞 x 軸旋轉，就掃出一個三維的旋轉體——想像車床上車出的一隻花瓶。把它沿垂直於軸的方向切成一片片薄圓片（圓盤）。位置 x 處的一片是半徑為 f(x) 的圓，所以它的面是 pi * f(x)^2，而它微小的厚度是 dx；一片圓盤貢獻 pi * f(x)^2 * dx。用積分把這些圓盤疊起來，你就得到體積。貢獻從一段長度變成了一塊面積，但切片、相乘、求和的動作一模一樣。
函數的平均值
一個東西取無窮多個值——比如一整天的氣溫——你怎麼求它的平均？對一串有限的數，你把它們加起來再除以個數。對區間 [a, b] 上的一個函數，你做連續版本的：用積分把所有的值加起來，再除以區間長度 b - a。這就給出 f 的平均值。
average value of f on [a, b] = ( 1 / (b - a) ) * integral from a to b of f(x) dx compare to a finite average: ( sum of values ) / ( how many values )
這裡有一幅令人滿意的圖。把兩邊都乘以 (b - a)，公式就說：平均值 * (b - a) = integral from a to b of f。換句話說，一個寬為 b - a、高等於平均值的扁平矩形，恰好和 f 下方那塊起伏區域有完全相同的面積。平均值就是那個能給你同樣總量的恆定高度——它把凹凸抹平了。
統一的主題：對變化率積分，得回總量
下面這個想法把整門學科繫在一起。導數把一個總量變成一個變化率：位置變成速度。積分把這一步倒過來——它把變化率變回總量。如果你知道某樣東西在每一瞬間累積得有多快，把這個變化率在一段時間上積分，就得到累積起來的總量。這不過是把基本定理當作一句關於現實世界的話來讀。
- 速度是位置的變化率，所以在極短的一段時間 dt 裡你大約移動 v(t) * dt。把所有這些微小移動加起來：總位移 = integral from t1 to t2 of v(t) dt。
- 舉例：一輛車以穩定的 v = 60 公里/時從 t = 0 開到 t = 2 小時。60 dt 從 0 到 2 的積分是 60*2 - 60*0 = 120 公里——正是你預期的路程。積分只是印證了這個日常的答案。
- 現在讓速度變化，比如 v(t) = 6t。它的一個反導數是 3t^2，所以從 0 到 2 的路程是 3*2^2 - 3*0^2 = 12 公里。對於變化的速度，沒有乾淨的算術捷徑——是積分把它搞定的。