從數到箭頭：向量場
到目前為止，函數在每一點上交給你的是一個數——一個高度、一個溫度、一個成本。向量場交給你的，則是一支箭頭。它在平面（或空間）的每一點上掛一支小向量：一個方向，外加一個大小。最經典的圖景，就是一張佈滿風羽的天氣圖——每一處，空氣往哪個方向走、走得有多猛。洋流、熱量穿過一面牆的流動、行星附近感受到的引力牽引：這些全都是向量場。
其實你早就見過向量場，只是沒意識到。隨便取一片地貌 z = f(x, y)，在每一點上算出它的梯度：你就得到每一處一支箭頭，全都指向上坡。這就是一個梯度場，它是一種特殊而溫順的向量場。很快我們就要反過來問——給你一整片密林般的箭頭，我們能不能判斷它是不是來自某片隱藏的地貌？答案，竟然藏在兩個新的度量裡。
散度與旋度：向外鋪開與就地打旋
站在流動中的某一點，問兩個截然不同的問題。第一個：離開這個點的液體，比抵達它的更多嗎？在這點周圍畫一個極小的盒子；單位體積裡淨流出的量，就是散度。散度為正，意味著這是一個源——液體正在那裡被造出來，像泉眼裡咕咕冒出的水。為負，意味著是一個匯——液體正被吸走，像排水孔。處處為零，則意味著液體不可壓縮：流進多少，就流回多少。
第二個問題：這裡的流動會打旋嗎？在那一點把一隻極小的槳輪丟進水裡，看著它。如果水流推一邊比推另一邊更用力，輪子就會轉——而旋度量的正是這種就地的轉動：轉得有多快、繞著哪根軸。浴缸裡的漩渦有很強的旋度；筆直滑過的水流則毫無旋度。要緊的是，散度和旋度都是局部的——它們描述的是一個點的無窮小鄰域裡發生的事，並且（和微積分裡的一切一樣）是由偏導數搭起來的。
Field in 2D: F(x, y) = ( P(x, y) , Q(x, y) )
divergence = partial P / partial x + partial Q / partial y
(net outflow: a single number, a source/sink reading)
curl (2D) = partial Q / partial x - partial P / partial y
(local spin: positive = counterclockwise twist)
Example F = ( x , y ) (arrows pointing straight outward):
divergence = 1 + 1 = 2 -> a source everywhere, fluid spreading out
curl = 0 - 0 = 0 -> no spinning at all線積分與那幾條宏大的推廣
現在，沿一條路徑穿過這片場走一趟，把每一步它在幫你還是在拖你累加起來。這個累計的總量，就是線積分——和定積分一樣，它是一個和的極限，只不過是沿一條穿過箭頭的曲線去取，而不是沿一根平直的坐標軸。如果這片場是一種力，線積分就是你走完這條路所做的功。如果它是一股水流，它量的就是環量——這股流沿著你的回路把你推了多少。
現在，是整段攀登的頂峰了。微積分基本定理說過：要把一個導數在一段區間上加起來，你只需要它在兩個端點上的值——內部相互抵消，邊界把帳記下。向量微積分在更高的維度裡，發現了同一樁驚人的便宜。每一條宏大的定理都在說：某個導數在一片區域上的積分，等於一個只在該區域邊界上取的、更簡單的積分。
- 格林定理：一片平坦區域內部打旋的總旋度，等於沿它邊界迴路繞一圈的環量（線積分）。內部所有的旋轉在彼此相接處相互抵消，只剩下邊緣。
- 斯托克斯定理：同一個思想被抬進三維——穿過一張曲面的旋度，等於沿這張曲面邊緣繞一圈的環量。格林定理只是它在平面上的特例。
- 散度定理：一塊立體區域內部的總散度（所有源與匯），等於淨通量——穿過它那張包裹曲面向外流出的流量。又一次，內部的帳等於邊界的帳。
回報所在，以及下一步去哪裡
費這麼大勁搭這套機器，圖什麼？因為 1865 年，馬克士威把整套電與磁的理論——每一台馬達、每一道無線電波、每一束光——正是用這些工具寫了下來。他那四條方程，談的只有散度和旋度：電荷就是那些源，它們的散度讓電場向四面鋪開；磁則沒有源（它的散度永遠為零，所以不存在孤零零的磁極）；而一個變化的磁場帶著旋度，攪起一個環繞的電場，反之亦然。
就從這四行出發，馬克士威做成了一件沒有任何實驗做到過的事：他預言電場與磁場能彼此餵養、以一種自我維持的波傳播開去——並算出了它的速度恰好是光速。他由此領悟到，光就是電磁現象。這就是樸素的微積分，被推向向量場之後，能給你的那種觸及之遠。你從一條曲線上的一個斜率出發，一路爬到了點亮世界的那組方程。