二重與三重積分

從線上的薄片到區域上的小塊

回想一下單一的[[definite-integral|定積分]]是怎麼搭起來的：你取一段從 a 到 b 的區間，把它切成寬為 dx 的細長條，在每條上量出一個高度 f(x_i)，再把 f(x_i) * dx 加起來。答案是當這些長條變得無限細時，那個[[riemann-sum|黎曼和]]的[[limit|極限]]。這篇導讀裡每一個老實的動作，都只是把同一個動作，往上抬了一個維度而已。

現在想象一張曲面飄在地板上方——比如 z = f(x, y)，一座你四處走動時高度就跟著變的小山。你想要那張曲面與它下方地板上一塊平面區域 R 之間夾住的體積。單單一條長條不夠用了，因為 R 既有長又有寬。於是用一張小矩形組成的網格去鋪滿 R，每個小矩形的面積是 dA = dx * dy。在一塊小方塊上，把這座山當成在高度 f(x_i, y_j) 上是平的；那一根小柱子的體積就是 f(x_i, y_j) * dA。把每一根柱子加起來，你就得到了整個體積的一個估計。

single integral:   sum over i      of  f(x_i) * dx          ->  area under a curve

double integral:   sum over i, j   of  f(x_i, y_j) * dA     ->  volume under a surface
                                       where dA = dx * dy

triple integral:   sum over i,j,k  of  f(x_i, y_j, z_k) * dV ->  total stuff in a solid
                                       where dV = dx * dy * dz

同樣的配方，更多的維度：把區域切成微小的方塊（dA）或微小的盒子（dV），用函數在那裡的值給每一塊加權，相加，再取小塊縮成無的極限。

累次積分：一次只剝一個方向

一下子在整張網格上求和，聽起來毫無希望。解救之道卻美妙地簡單：一次只做一個方向。把 y 摁住不動，沿著 x 滑過去——這就是一個普通的單變量積分，它給你的是這塊體積裡某一薄片的面積。然後讓 y 變動，把所有這些薄片加起來。兩個單變量積分，套在一起，就替掉了那個嚇人的二重和。這種套法叫累次積分。

湊近看那個內層積分。當你對 x 積分時，變量 y 是凍住的——被當作一個常數。這應該讓你想起點什麼：這正是[[partial-derivative|偏導數]]的那套心法，在那裡你同樣把除一個之外的每個變量都凍住。多維裡的求導和積分，都是一次只動一個位置，其餘的按住不動。

擺好外層和內層的上下界：內層積分跑一個變量（比如 x），外層跑另一個（y）。
先做內層積分，把另一個變量當成凍住的常數——就像反過來做偏導數。
結果是一個含剩下那個變量的式子。現在對它做外層積分，用實實在在的數字上下界。
蹦出來一個單一的數字——你要的那個體積、質量或總量。

一個從頭到尾的例子

我們來求曲面 z = x + y 在單位正方形上方的體積，其中 x 從 0 跑到 1，y 也從 0 跑到 1。我們裡層對 x 積分，外層對 y 積分。看好了：在第一步裡，y 只是作為一個常數搭著便車而已。

Volume = integral (y from 0 to 1) [ integral (x from 0 to 1) of (x + y) dx ] dy

Inner integral, y held constant:
   integral (x from 0 to 1) of (x + y) dx
      = [ x^2/2 + y*x ]  from x = 0 to x = 1
      = (1/2 + y) - 0
      = 1/2 + y

Outer integral, now over y:
   integral (y from 0 to 1) of (1/2 + y) dy
      = [ y/2 + y^2/2 ]  from y = 0 to y = 1
      = (1/2 + 1/2) - 0
      = 1

Volume = 1

由裡到外：在 y 凍住時對 x 積分，得到 1/2 + y；再把它對 y 積分。這一對套起來的單變量積分交出了體積，恰好是 1。

一個不錯的合理性檢驗：曲面 z = x + y 在單位正方形上的平均高度是 1（它從角點 (0,0) 處的 0 一路升到 (1,1) 處的 2），而正方形的面積是 1，所以體積理應大約是 1 * 1 = 1。它正是。對這張曲面來說，因為它是一個傾斜的平面，你甚至本可以一眼把它看成一個楔形的體積——積分只是印證了幾何在悄悄告訴你的，並且當曲面不再平直時它照樣管用。

再上到三重積分，以及它們加總的是什麼

把同一個想法再往上推一級。一個三重積分跑遍三維空間裡一整塊實心體。把這塊實心體切成體積為 dV = dx * dy * dz 的微小盒子，用函數在那裡的值給每個盒子加權，相加，再取極限。作為累次積分，它就是三個單變量積分一層套一層——先剝 x，再剝 y，再剝 z，每一步都把還沒輪到的變量當成常數。

一個三重積分交給你的是什麼？這全看那個函數代表什麼意思。如果 f 是密度（單位體積的質量），那麼三重積分就是物體的總質量。如果 f 是電荷密度，你得到的是總電荷。如果 f 乾脆就是常數 1，你得到的是這塊實心體樸素的體積。一台機器，多種含義——而這正是多重積分會從物理、到概率、到圖形學，處處冒頭的原因。