代數沒能回答的問題
如果你已經好多年沒碰過數學，先深呼吸一下：其實你每天都在用微積分的核心思想。當你說一輛車「時速 60 英里」，你談的就是某樣東西變化得有多快；當你說浴缸「裝了一半」，你談的就是已經累積了多少。微積分，不過是把這兩個日常問題，認真地問一遍。
代數最擅長處理靜止的和筆直的東西。給它一條直線，它立刻告訴你斜率：高度差除以水平差，沿著這條線處處相同。給它一個矩形，它告訴你面積：寬乘高。可現實世界很少是筆直的。拋出的球會彎曲，人口先猛增再趨平，股價上下游走。一旦事物彎曲起來，單純的代數就卡住了。
兩個古老的問題
幾個世紀以來，有兩個問題讓數學家用盡招數也搞不定。第一個是切線問題：在某一個確切的瞬間，某樣東西變化得有多快？在一條曲線上，單獨一點處的斜率是多少——那條恰好「親吻」曲線的直線有多陡？這就是瞬時變化率的問題：不是整段旅程的平均速度，而是在速度表恰好指向 60 的那一瞬間，你究竟跑得多快。
第二個是面積問題：一個帶彎曲邊界的圖形——被困在曲線下方的那塊區域——面積是多少？這其實是關於累積的問題：如果你的速度一直在變，總共走了多遠的路？如果水流速率一直在變，總共積了多少水？直邊的矩形和三角形我們會量；可彎彎曲曲的區域，好像總從指縫裡溜走。
一個想法同時解決兩者：無限逼近
下面這一招，能解開一切。我們沒法直接量出「單獨一點處」的斜率——斜率需要兩個點。於是我們誠實地「作弊」：在附近取第二個點，量出穿過這兩點的直線斜率，然後讓第二個點越來越靠近第一個點，看著斜率往哪裡趨近。它趨向的那個值，就是極限——當你把間隙不斷縮小時，某個量所逼近的那個唯一數字，哪怕你永遠碰不到它。
average slope from x to x+h = (f(x+h) - f(x)) / h lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h = f'(x)
這個極限有個名字：導數。導數恰恰就是「當間隙縮到零時，那些平均斜率的極限」——也就是瞬時變化率，正是切線問題的答案。同樣這一招，從另一頭攻破了面積問題，靠的是定積分。
- 要求曲線下方的面積，把這塊區域切成許多你能測量的窄矩形，再把它們的面積加起來。
- 矩形有的超出、有的不及真正的曲線，所以這個和只是個估計——矩形越少，越粗糙。
- 現在用更多、更窄的矩形，再更多。這個總和會向某一個數字穩定下來——它的極限。這個極限就是定積分，是精確的累積量，而不僅僅是面積：對正值曲線它恰好等於面積，但極限才是真正的定義。
兩半其實是一體
接下來這部分，至今仍像魔術。導數（把變化一瞬一瞬地拆開）和積分（把變化一片一片地堆起來）是互逆的運算——一個抵消另一個。把它們綁在一起的那條定理太重要了，被稱為微積分基本定理，正因為有它，我們才能算積分，而不必沒完沒了地累加小矩形。
一個日常版本：速度表的讀數是你位置的導數（距離變化得多快）；里程表則是你速度的積分（把所有那些瞬時速度累積成總路程）。速度和路程，是同一段旅程的兩種看法——這就是整個微積分的縮影。