函數到底朝哪兒去？
想像你正朝一道門口走去。隨著步子越邁越小，在你真正到達之前，就有一個明確的位置是你正在*靠近*的——哪怕由於某種原因，你永遠不許踩上門檻本身。極限捕捉的正是這件事：當 x 被一點點推向某個目標 a 時，函數 f(x) 越來越靠近的那個值。我們寫成 lim x->a f(x)，讀作「當 x 趨近 a 時 f(x) 的極限」。
關鍵的妙處——也是極限之所以強大的原因——在於極限並不在乎在 x = a *那一點*發生了什麼。它只在乎*趨向* a 的這段旅程。函數在 a 處也許沒有定義，也許在那裡做點古怪的事；極限會悄悄無視這孤零零的一個點，只問一句：「附近的輸出值都擠在哪個數周圍？」
一個例子：一個不成問題的洞
取 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，問當 x 趨近 1 時會發生什麼。直接代入 x = 1，你得到 0/0，這沒有意義——這叫做不定式。函數在 x = 1 處乾脆就沒有定義。但這並不妨礙我們去問它*朝哪兒去*。
- 注意分子可以分解：x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)。
- 於是 f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1)。對每一個*不等於* 1 的 x，(x - 1) 都能約掉，只剩下 x + 1。
- 當 x 滑向 1，x + 1 就滑向 2。所以 lim x->1 f(x) = 2——儘管 f(1) 本身從來不存在。
x f(x) = (x^2-1)/(x-1) 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 1.0 undefined (0/0) 1.001 2.001 1.01 2.01 1.1 2.1
從兩側逼近，以及極限何時不存在
你可以從左邊（x 略小於 a）或從右邊（x 略大於 a）趨近 a。這給出左極限和右極限，統稱單側極限。只有當兩者一致地趨向同一個值時，雙側極限才存在。如果函數會因為你從哪一側過來而跳到不同的高度，那麼極限乾脆就不存在。
極限失敗有幾種真實的方式：兩側不一致（跳躍），函數衝向無窮（尖峰），或者它永遠抖動、始終安定不下來，比如 sin(1/x) 在 0 附近的樣子。「極限存在」是一句可能為假的實在斷言——請保持這份健康的懷疑。
把「接近」說精確——以及一個著名的夾擠
「越來越接近」聽上去很清楚，但數學家想把它弄得滴水不漏。ε-δ 定義把它說成一場挑戰遊戲：你說出*你要求輸出離 L 有多近*（一個容差 ε，比如說要在 0.001 之內），而我必須找出*輸入離 a 要有多近*（一個距離 δ）才能保證做到。只要無論你設的挑戰多麼微小，我總能應對，那麼極限就真的等於 L。這句話——「你要多近，我就能做到多近」——就是全部的精髓。
有時極限很難正面強攻，於是我們把它困住。夾擠定理說：如果一個函數被夾在另外兩個都趨向同一個值 L 的函數之間，那麼它也別無選擇，只能趨向 L。最經典的回報就是 lim x->0 sin(x)/x = 1——代入 x = 0 你又會得到 0/0，可把 sin(x)/x 夾在兩個都趨向 1 的函數中間，就能把答案釘得分毫不差。等我們建立導數時，會大量用到這個結果。