走向數軸的遙遠盡頭
到目前為止，我們一直在問：當 x 趨近某個普通的點 a 時，函數會怎樣。現在我們換個問題：當 x 一直向右跑到永遠、或一直向左跑到永遠時，f(x) 會怎樣？這就是無窮處的極限。我們並不是把「無窮」當成一個數代進去——根本沒有這樣一個數。我們描述的是一種趨勢：當 x 無止境地增大時，f(x) 是否會朝某個唯一的值安頓下來，還是不停往上爬，或是四處遊蕩？
取 f(x) = 1/x。當 x 朝著越來越大的值進發——10、1000、一百萬——輸出會越來越小：0.1、0.001、0.000001。它永遠到不了 0，但毫無疑問正朝那裡去。我們寫作 lim x->infinity 1/x = 0。它的圖像越來越緊地貼近水平線 y = 0；這條線叫做水平漸近線，而求它正好就是在問無窮處的極限。
讀出末端走勢，以及那些滑溜的形式
對於兩個多項式之比，末端走勢由分子和分母最高次冪之間的一場拔河決定。一個好用的技巧：把每一項都除以分母裡 x 的最高次冪，然後讓剩下的那些 1/x 碎片消失。來看看它在 f(x) = (3x^2 + 5) / (2x^2 - 7) 上是怎麼起作用的。
lim x->infinity (3x^2 + 5) / (2x^2 - 7) = lim (3 + 5/x^2) / (2 - 7/x^2) [divide top & bottom by x^2] = (3 + 0) / (2 - 0) [each 1/x^2 -> 0] = 3/2
注意我們繞開了什麼。如果你貿然先讓 x -> infinity，分子奔向無窮，分母也奔向無窮，留下毫無意義的表達式 infinity/infinity。這就是一個不定式：光看符號本身並不能告訴你答案。同樣的麻煩也會以 0/0 的形式出現——比如，定義導數的差商，本質上就是一個偽裝起來的 0/0 情形。「不定」並不是說「沒有答案」，而是說「你得看得更仔細」。在這裡，看得更仔細（那個相除的技巧）揭示出答案自始至終都是乾淨俐落的 3/2。
無窮小的誠實故事
當牛頓與萊布尼茨在 1600 年代發明微積分時，他們是用無窮小來推理的——他們設想這是一些「無窮地小」的量：比你能說出的任何正數都小，卻又不知怎地不等於零。為了求斜率，萊布尼茨會把 dy/dx 寫成兩個這樣無窮小的微小推動 dy 與 dx 之比。這些方法對行星和潮汐給出了驚人正確的答案，這也是人們一直沿用它們的原因。
但邏輯上有一道裂縫。批評者問：在同一次計算裡，dx 一會兒表現得像個非零的數（你拿它來作除數），過一會兒又被當作零（你把它丟掉）。它到底是哪一個？哲學家喬治·貝克萊譏諷這些消失的量是「已逝之量的幽靈」。這些套路確實管用，可沒人能乾淨俐落地說出為什麼。
- 由柯西與魏爾斯特拉斯在 1800 年代理清的誠實修正，是不再談論一個固定的「無窮小的數」，轉而談論一個趨近的過程。
- 我們不用無窮小的 dx，而是用一個雖小卻普通的 h，先做代數運算，然後取 h -> 0 時的極限——讓 h 朝 0 收縮，卻始終不等於 0。
- 這就化解了那個悖論：在我們計算的過程中，h 是一個貨真價實的非零數，可以拿來作除數；只有到最後，我們才去問當 h 趨近 0 時表達式正朝哪裡去。從來沒有任何東西在同一瞬間既是零又不是零。
為第一階收尾：把無窮小與無窮大講精確
看看僅僅一個觀念就承載了多少東西。極限讓我們能談論一個函數趨近卻永不抵達的目的地（1/x 奔向 0）。它讓我們能伸向無窮，讀出一個函數的長遠行為（趨於 3/2 的漸近線）。它還讓我們能把一個變化量縮向烏有，卻仍然可以拿它作除數（h -> 0 時的斜率）。無窮小與無窮大是同一枚硬幣的兩面，而極限正是讓我們誠實地駕馭它們兩者的東西。
正是這同一個極限，是貫穿整個第一階的那條線索：它是連續的定義方式（極限等於取值），而在後面的階裡，它就字面意義上是導數的定義（差商的極限）與定積分的定義（求和的極限）。一旦你對「這個東西趨近什麼？」感到自在，微積分餘下的內容就成了一個你早已會問的問題的種種變奏。