連續性：沒有斷裂的曲線

筆不離紙的畫面

對連續性最友好的檢驗是這樣的：想像你用手畫出一個函數的圖像。如果你能一路描完整條曲線、筆始終不離開紙面，那麼這個函數就是連續的。一天裡室外的氣溫、一株正在長高的植物、一個被拋出的球的位置——它們都平滑地變化，不會從一個值瞬移到另一個值，所以它們的圖像是不間斷的。

現在想想，筆在哪些地方*不得不*離開紙面。也許曲線突然跳到一個新高度；也許有一個孤零零缺失的點——一個小小的空洞——在那裡函數沒有定義，或者落在了錯誤的位置；也許曲線在某個值附近一飛衝天奔向無窮。這些每一種都是一個斷裂，每一處都是函數失去連續性的地方。下面整套形式化的說法，不過是用一種謹慎的方式表達：在這一點上，曲線沒有斷。

用極限把它說精確

在前面的台階上，你已經認識了極限：lim x->a f(x) 是當 x 逼近 a 時，曲線*正趨向*的那個唯一的值——不管在 a 這一點上究竟發生了什麼。連續性把這個「趨向的值」和函數真正取到的值聯繫起來。當曲線趨向的地方，正是它真正落腳的地方時，函數 f 就在 a 處連續。

f is continuous at a  <=>  lim x->a f(x) = f(a)

1. f(a) 存在——函數在 a 處確實有定義；圖上那裡有一個點，而不是一個空洞。
2. lim x->a f(x) 存在——曲線趨向一個確定的值，從兩邊趨近得到的結果相同（左、右單側極限一致）。
3. 兩者相等——它趨向的值等於它落腳的值：極限等於 f(a)。

曲線斷裂的三種方式

當那個等式不成立時，這種失敗是有形狀的，給常見的幾種取個名字會很有幫助。跳躍間斷就像一級台階：曲線從左邊趨近到一個高度，從右邊卻趨近到另一個不同的高度，於是單側極限不一致，極限不存在。想想停車費：一小時以內是 2 元，可一過一小時的那一瞬間就變成 5 元——費用跳了一下。

可去間斷是一個孤立的空洞：曲線乾淨俐落地趨向某個值（極限存在），可 f(a) 卻缺失，或被設到了錯誤的位置。之所以叫*可去*，是因為你只要補上那一個點，就能讓函數變得連續。無窮間斷則是一條豎直漸近線：在 a 附近曲線衝向 +無窮 或 -無窮，就像 1/x 在 x = 0 附近那樣，於是根本不存在有限的極限。

g(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)
# equals x + 1 everywhere EXCEPT x = 1, where it is 0/0 (undefined).
# lim x->1 g(x) = 2, but g(1) does not exist  ->  removable hole at (1, 2).

連續性憑什麼這麼有用

連續性不只是「整齊」而已——它換來的是各種保證。其中最響亮的一條是介值定理：如果 f 在從 a 到 b 的區間上連續，那麼它在這一路上的某處，會取到介於 f(a) 和 f(b) 之間的*每一個*值。一條不間斷的曲線，要從一個高度到達另一個高度，就不可能不經過中間所有的高度——沒有門可以讓它溜過去，因為根本就沒有縫隙。

這話聽起來理所當然，可它是個幹活的主力。假設 f 連續，f(a) 是負的，f(b) 是正的。既然 0 夾在一個負數和一個正數之間，定理就保證了在 a 與 b 之間*存在某個*點 c，使得 f(c) = 0——也就是一個根。這正是你鎖定一個無法手算求解的方程的解的辦法：把它夾在一個負值和一個正值之間，然後一點點收緊。

1. 找到兩個點 a 和 b，使 f(a) < 0 而 f(b) > 0（符號變了）。連續性保證它們之間藏著一個根。
2. 檢查中點 m = (a + b) / 2。哪一半的兩端符號仍然相反，根就一定在那一半裡。
3. 不斷把區間對半切下去。每一步都讓精度翻倍，這個夾縫會按你想要的緊度收向那個根。