我們為什麼需要法則
在上一階你看到，導數確實是一個差商的極限：f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h。這個定義就是本質，親手算上幾次很值得，能讓這個想法扎根。但想像一下，每次遇到 x^2、sqrt(x) 或 3x^5 - x + 7 都要把那個極限從頭磨一遍。沒人會這麼做。數學家們對一整族一整族的函數把極限算了一次，再把結果打包成簡短的法則。這些法則並不是另一種數學——每一條都正是極限給出的結果，只是被記了下來，省得你每次重新推導。
冪法則，以及常數與求和
主力是冪法則：要對 x 的某個數次冪求導，就把指數拿到前面來，並把它減一。用符號寫就是 d/dx x^n = n x^{n-1}。於是 x^2 變成 2x，x^5 變成 5x^4，而 x（也就是 x^1）變成 1。它對負指數和分數指數同樣有效：1/x = x^{-1} 的導數是 -1 x^{-2} = -1/x^2，而 sqrt(x) = x^{1/2} 的導數是 (1/2) x^{-1/2} = 1/(2 sqrt(x))。
再加兩條法則，你就能處理整個多項式。常數倍法則說，掛在前面的數字只是隨行而已：d/dx (c f) = c f'(x)，所以 3x^5 的導數是 3 乘 5x^4 = 15x^4。求和法則說，你可以逐項求導：d/dx (f + g) = f'(x) + g'(x)。而一個純常數的導數是 0——一條水平線沒有斜率。把這些合起來，任何多項式都能一眼寫出它的斜率。
f(x) = 3x^5 - x + 7
f'(x) = 15x^4 - 1 + 0
= 15x^4 - 1乘積與商（要小心的那兩個）
這裡有初學者最常踩的坑。當兩個函數相乘時，導數並不是 f'(x) 乘 g'(x)。這乾脆就是錯的，你可以驗證：若 f = g = x，則 f g = x^2，其導數是 2x，可是 f'g' = 1 乘 1 = 1。正確的乘積法則是 (f g)' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)——讀作「對第一個求導而保留第二個，加上保留第一個而對第二個求導」。每個因子輪流變化一次。
對於一個比值 f(x)/g(x)，商法則是 (f/g)' = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g(x)^2。注意那個減號和順序——帶 f' 的那一項在前——而且整個分母要平方。一個記憶口訣：「下乘上的導，減去上乘下的導，除以下的平方」。它只在 g(x) 不為 0 處才有意義，因為不能除以零。
- 用乘積法則對 h(x) = x^2 sin(x) 求導。第一個因子 f = x^2，f' = 2x；第二個因子 g = sin(x)，g' = cos(x)。
- 拼出 f'g + fg'：h'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)。完成——不需要任何極限。
- 再來一個商：q(x) = x / (x^2 + 1)。用「下乘上的導減上乘下的導，除以下的平方」：q'(x) = (1 (x^2 + 1) - x (2x)) / (x^2 + 1)^2 = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2。
再記幾個導數，以及走到二階
有幾個非多項式的導數值得背下來，因為它們到處都會出現：d/dx e^x = e^x（這個函數就是它自己的斜率）、d/dx ln(x) = 1/x（當 x > 0 時）、d/dx sin(x) = cos(x)，以及 d/dx cos(x) = -sin(x)。這些當初都是直接從極限定義證出來的；你只管拿來用就好。配上上面那四條法則，你現在可以用一兩行就對 e^x cos(x) 或 (ln x)/x 這樣的式子求導。
因為一個函數的導數本身也是一個函數，你可以再求一次導。這就得到二階導數，一種高階導數，記作 f''(x) 或 d^2y/dx^2。如果一階導數是變化率，那麼二階導數就是「這個變化率」的變化率。在運動中它是加速度（你的速度本身變化得有多快）；在圖像上它是凹凸性（曲線是像微笑那樣向上彎，還是像皺眉那樣向下彎）。對 f(x) = x^3，我們得到 f'(x) = 3x^2，再求一次得 f''(x) = 6x——當 x > 0 時為正，所以曲線在那裡向上彎。