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隱函數求導與相關變化率

有些曲線，比如圓 x^2 + y^2 = 25，沒法乾淨俐落地解出 y。靠[[implicit-differentiation|隱函數求導]]你仍然能求出它們的斜率——而同一個技巧用到時間上，就成了[[related-rates|相關變化率]]：一架下滑的梯子、一隻充氣的氣球、一片上漲的潮水，是如何一起變化的。

當你解不出 y 的時候

到目前為止，每個函數都來得很整齊：y 被顯式地寫成 x 的式子，比如 y = x^2 或 y = sin(x)，你對右邊求導就行。但有很多曲線不肯長成這個樣子。圓 x^2 + y^2 = 25 就是經典例子：你想解出 y，得到的是 y = +sqrt(25 - x^2) 或 y = -sqrt(25 - x^2)——兩個半圓，而不是一個乾淨的函數。更糟的曲線，比如 x^3 + y^3 = 6xy，根本就解不開。可這些曲線在每一點上顯然都有切線，所以理應有斜率。我們怎樣不解出 y 就把它求出來？

關鍵的想法只是態度上的一點轉變。儘管我們從沒把 y 寫成 x 的公式，但在大多數點附近，曲線確實表現得像某個函數 y(x)——在圓的上半部分取一個點，在局部 y 真的就是 x 的函數。於是我們把 y 當成「y，它暗地裡依賴於 x」，再對整個方程求導。讓這一切行得通的那一條法則，正是上一階的鏈式法則：每當你對一個由 y 搭成的東西求導，都必須乘上 dy/dx，因為 y 本身會隨著 x 變化而變化。

隱函數求導的步驟，用圓來演示

我們來求圓 x^2 + y^2 = 25 在點 (3, 4) 處的斜率——這個點確實在圓上，因為 9 + 16 = 25。計劃是：對兩邊都關於 x 求導，記得 y 帶著一個隱藏的 dy/dx，然後從得到的方程裡解出 dy/dx。

  1. 把每一項都關於 x 求導。x^2 得到 2x；y^2 得到 2y dy/dx（鏈式法則）；常數 25 得到 0。結果是：2x + 2y dy/dx = 0。
  2. 用代數解出 dy/dx：把 2x 移過去，再除以 2y，得到 dy/dx = -2x / (2y) = -x / y。注意斜率同時依賴於 x 和 y——這很自然，因為曲線上每個點都有它自己的切線。
  3. 代入點 (3, 4)：dy/dx = -3 / 4。在 (3, 4) 處的切線緩緩地向下傾斜，這與圓的右上方那段圖像正好吻合。
x^2 + y^2 = 25

d/dx :  2x + 2y (dy/dx) = 0

        dy/dx = -x / y

at (3, 4):  dy/dx = -3/4
隱函數求導：逐項求導，給每個含 y 的項附上 dy/dx，再解出 dy/dx。

相關變化率：關於時間求導

隱函數求導在現實世界裡大顯身手，就在這裡。常常有兩個或更多的量被一個方程綁在一起，而且它們全都隨著時間流逝在變化。相關變化率問題問的是：已知一個量變化得有多快，另一個量變化得有多快？技巧和之前一模一樣——對那個關係式求導——只不過現在所有東西暗地裡依賴的變量是時間 t，於是每一項都帶上一個 d/dt 和一個鏈式法則因子。

拿最受歡迎的例子：一架 10 英尺長的梯子靠在牆上，它的底端以 2 英尺/秒被往外拉離牆。當底端離牆 6 英尺時，頂端正以多快向下滑？牆、地面和梯子組成一個直角三角形，所以由勾股定理 x^2 + y^2 = 10^2，其中 x 是底端距離，y 是頂端高度。x 和 y 都依賴於時間。關於 t 求導得到 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0——和圓是一樣的形狀，只不過現在 dy/dx 變成了 dy/dt，而且我們還多出一個 dx/dt。

  1. 寫出關係式並關於 t 求導：由 x^2 + y^2 = 100 得到 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0，即 x (dx/dt) + y (dy/dt) = 0。
  2. 在被問到的那一刻把數字代進去。當 x = 6 時，高度 y = sqrt(100 - 36) = 8，而題目告訴我們 dx/dt = +2（底端向外移動）。代入：6(2) + 8 (dy/dt) = 0。
  3. 解出那個未知的變化率：8 (dy/dt) = -12，所以 dy/dt = -1.5 英尺/秒。負號表示頂端正以 1.5 英尺/秒向下滑——比底端向外移動得慢，正如直覺所料。

第二個例子，與它們共有的形狀

一隻正在充氣的球形氣球用的是同一套機制。它的體積是 V = (4/3) pi r^3，其中 V 和 r 都隨時間增長。關於 t 求導——鏈式法則把 r^3 變成 3r^2 (dr/dt)——得到 dV/dt = 4 pi r^2 (dr/dt)。如果空氣以 dV/dt = 100 立方厘米每秒被打進去，那麼當半徑 r = 5 厘米時，我們可以解 100 = 4 pi (25)(dr/dt)，得到 dr/dt = 1 / pi 厘米/秒。氣球的表皮在穩定地向外推，但隨著球體變大，半徑增長得越來越慢，因為同樣多的空氣現在得去鋪一個更大的表面。

退一步就會發現，這兩個世界演的是同一齣戲。隱函數求導是把一個含 x 和 y 的關係式關於 x 求導，給含 y 的部分附上 dy/dx。相關變化率是把一個含若干個量的關係式關於時間 t 求導，給每個在變化的量附上像 dx/dt 或 dr/dt 這樣的變化率。兩者的引擎都是老老實實地用鏈式法則，而最後一步都是純代數：把你想要的那個導數孤立出來。