函數裡面套著函數
先給這條法則要對付的對象起個名字。複合函數就是把一個函數作用在另一個函數的輸出上——你先做 g，再把它的結果餵進 f。我們寫成 f(g(x))，讀作「f 在 g 在 x 上」。比如 sin(x^2)，就是一個複合：裡層是 g(x) = x^2，外層是 f(u) = sin(u)——先把 x 平方，再對那個結果取正弦。認出哪部分是裡層、哪部分是外層，幾乎就是全部的難處；一旦你看清了，法則差不多自己就寫出來了。
環環相扣的變化率
在公式之前，先看圖景。想像三個量串成一條鏈：y 依賴於 u，u 又依賴於 x。假設 u 的變化速度是 x 的 3 倍（x 動 1，u 就動 3），而 y 的變化速度是 u 的 2 倍。那麼當 x 移動時，y 變化得有多快？u 每動一個單位 y 就動 2，而 x 每動一個單位 u 就動 3，所以 x 每動一個單位 y 就動 2 乘 3 = 6。這些變化率沿著鏈條直接相乘。這就是鏈式法則的全部想法，用齒輪來說：一個小齒輪帶動一個大齒輪，把轉動傳遞下去，轉速便層層疊乘。
用萊布尼茨記法寫出來非常漂亮：若 y = f(u) 且 u = g(x)，則 dy/dx = dy/du 乘 du/dx。看上去好像那兩個 du「約掉」了，雖然這並不真是把它當分數的把戲，但它確實誠實地反映了底下的極限。用撇號記法，同一句話是 (f(g(x)))' = f'(g(x)) 乘 g'(x)。把它念成一句你永遠不會忘的口訣：「外層的導數（裡層原封不動）乘以裡層的導數。」
三個完整的例子
我們就把那句口訣用在答應過你的三個函數上。每一次都是：剝開外層，對它求導而保持裡層不動，再乘上裡層的導數。這套套路從不改變。
- (3x+1)^5。 外層是 f(u) = u^5（由冪法則 f'(u) = 5u^4）；裡層是 g(x) = 3x+1，g'(x) = 3。於是導數為 5(3x+1)^4 乘 3 = 15(3x+1)^4。注意我們把裡層 3x+1 原封不動地留在冪裡，再補上那個 3。
- sin(x^2)。 外層是 f(u) = sin(u)，f'(u) = cos(u)；裡層是 g(x) = x^2，g'(x) = 2x。於是導數為 cos(x^2) 乘 2x = 2x cos(x^2)。當心：它不是 cos(2x)，也不是單單的 cos(x^2)——那個 2x 因子必須在。
- e^{kx}，其中 k 是常數。 外層是 f(u) = e^u，f'(u) = e^u；裡層是 g(x) = kx，g'(x) = k。於是導數為 e^{kx} 乘 k = k e^{kx}。僅這一個結果就支撐起全部的指數增長與衰減——變化率等於 k 乘當前的量。
h(x) = (3x + 1)^5 outer = u^5 -> 5u^4 (leave u = 3x+1 alone) inner = 3x + 1 -> 3 h'(x) = 5(3x+1)^4 * 3 = 15(3x+1)^4
層層疊用，以及接下來
函數嵌得多深，鏈式法則就疊得多深。對 sin(e^{3x}) 有三層——sin 套 e 的幾次方套 3x——於是你把三個變化率相乘：cos(e^{3x}) 乘 e^{3x} 乘 3。從最外的殼一層層往裡剝，每剝一層就把新的裡層導數乘上去。鏈式法則也會和乘積法則、商法則配合使用：要對 x^2 sin(x^3) 求導，先對兩個因子用乘積法則，遇到裡面的 sin(x^3) 時再動用鏈式法則。
有了鏈式法則在手，你現在已經掌握了應付日常函數的完整求導工具箱。接下來我們會反著用它、也會換個面目用它：隱函數求導——鏈式法則讓你不必先解出 y，就能對像 x^2 + y^2 = 1 這樣的方程求導；以及相關變化率——兩個隨時間變化的量，正是被這條「沿鏈相乘」的想法串在一起。