放大之後，曲線變直了
在一條光滑曲線上任選一點，然後不斷放大它。彎曲會變得越來越平緩，直到足夠近時，曲線已經和一條直線分不出來了——而這條線正是你初學導數時遇到的那條切線。這就是線性逼近背後的全部想法：在點 a 附近，複雜的函數 f 的表現幾乎就像它的切線。那條切線的斜率是 f'(a)，所以經過點 (a, f(a)) 的這條線是 L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)。當 x 靠近 a 時，f(x) 約等於 L(x)。
動手估算 sqrt(4.1)
假設你需要 sqrt(4.1)，手邊卻沒有計算器。精確答案很彆扭，但 sqrt(4) = 2 很容易，而 4.1 就緊挨著 4。於是令 f(x) = sqrt(x)，把錨點放在 a = 4。導數是 f'(x) = 1/(2 sqrt(x))，所以 f'(4) = 1/(2 乘 2) = 1/4。現在只要沿切線走一小步 x - a = 0.1 就行。
f(x) = sqrt(x), a = 4, x = 4.1
f(a) = sqrt(4) = 2
f'(a) = 1/(2 sqrt(4)) = 1/4
sqrt(4.1) ~ f(a) + f'(a)(x - a)
= 2 + (1/4)(0.1)
= 2.025
(true value 2.0248... -> off by about 0.0002)對於這段升高本身，有一個簡潔的記法。x 的微小變化叫做 dx，由此引起的切線高度變化就是微分 dy = f'(a) dx。這裡 dy = (1/4)(0.1) = 0.025，正是我們加到 2 上的那一點。微分不過是「斜率乘以步長」的緊湊寫法，這也正是為什麼 dy/dx 和 f'(x) 表示同一件事。
洛必達法則拯救 0/0
現在說第二個好處。有些極限給你的是一個分式，分子和分母同時衝向 0，比如 lim x->0 sin(x)/x。代入得到 0/0，它既不是 0，也不是 1，更不是無窮——它是一個不定式，單憑符號無法回答的問題。同樣的麻煩也以 infinity/infinity 的形式出現。洛必達法則說：當 f(x)/g(x) 的極限確實是 0/0 或 infinity/infinity 時，你可以分別對分子和分母求導，改而求 f'(x)/g'(x) 的極限。
- 先檢查形式。對 lim x->0 sin(x)/x，代入 x = 0：sin(0)/0 = 0/0。是的，它是不定式，所以可以用這條法則。
- 各自對分子和分母求導（不是商法則）：d/dx sin(x) = cos(x)，d/dx x = 1。
- 求新的極限：lim x->0 cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1。於是 lim x->0 sin(x)/x = 1。
只在形式合格時才用它
洛必達法則很強大，這也讓它容易被誤用。最常見的錯誤，就是把它用在一個並非不定式的極限上。看 lim x->0 cos(x)/(x + 1)：代入得到 1/1 = 1，這是一個完全正確的答案——可若對分子分母求導，會得到 -sin(x)/1，其極限是 0，錯的。在動用這條法則之前，永遠要先確認你確實拿到的是 0/0 或 infinity/infinity。
本階的兩個想法都倚靠同一個洞見：在一點附近，一個光滑函數能被它的斜率很好地描述。線性逼近用這個斜率去預測附近的值；洛必達法則用分子和分母的斜率，去裁決一個原始數值懸而未決的比值。同一個導數，兩種非常不同的救援。