環量：沿一圈迴路把推力加起來
先從本級前幾篇你已經握在手裡的畫面出發。一個向量場 F 給平面填滿了箭頭——把它想成從高空俯瞰一條慢河的水面。現在往那股流動裡丟下一圈閉合迴路，一根騎在水上的小橡皮筋，並只問一個問題：當你沿橡皮筋繞行整整一圈，水流幫你前進了多少？每走一步，你取 F 中指向你行進方向的那個分量，把它累加起來。這份累計的總和就是 F 繞該迴路的環量，它無非就是 F 沿一條閉合曲線的線積分，積分號上畫一個圈表示「繞行一週」。
回想保守場那一篇：正是這同一個閉合迴路積分，曾是判定保守場的試金石——若 F 是純粹的坡度（某個勢的梯度），它繞每一圈迴路的環量都恰好為零，一段弧上得到的幫助會在另一段弧上如數還清。於是環量量度的，正是場「未能成為保守場」的程度——勢所無法解釋的那份剩餘淨推力。把 F 寫作 F = (P, Q)，分量為 P 與 Q，環量便是 P dx + Q dy 繞迴路一週的功積分。整條格林定理，就是對一個緊接著的問題的回答：那份剩餘的推力，究竟從何而來？
格林定理：邊界等於內部
陳述如下，它是整個微積分中最美的等式之一。[[greens-theorem|格林定理]]說：對平面中一塊由簡單閉曲線 C 所圍的區域 D，F = (P, Q) 繞 C 的環量，等於 dQ/dx − dP/dy 這單獨一個量在 D 上的二重積分：(P dx + Q dy) 繞 C 的迴路積分，等於 (dQ/dx − dP/dy) 在 D 上的面積積分。左邊只活在一維的邊緣上；右邊活在二維的內部裡。定理把「繞邊緣走一圈」換成了「對所圍的一切求和」。
那個神秘的被積式 dQ/dx − dP/dy 一旦認出來便毫不神秘：它正是二維場的旋度——第一篇裡的旋度，在平直的二維裡只剩下那個垂直於平面的分量。於是格林定理用大白話說就是：繞邊界的總環量，等於內部局部旋轉的總量。內部每一隻轉動的小槳輪都貢獻它那一份打旋，而格林定理擔保：當你把整塊區域上所有這些微觀旋轉加起來，其和恰恰就是你繞邊緣溜達一圈時所感到的淨推力。
為什麼會這樣？誠實的一句話理由是「相消」，值得放在腦子裡隨身帶著。把區域 D 切成一張細密的小格子網。對每一個小格子分別施行迴路積分，再把它們全加起來。凡是兩個格子共用一條內部邊的地方，你都把那條邊正向走一次（為其中一個格子）、反向再走一次（為它的鄰居）；這兩份貢獻大小相等、方向相反，於是恰好相消。每一條內部邊都是共用的，於是每一份內部貢獻都相消——剩下唯一沒被抵消的，就只有那些落在真正外邊界 C 上的邊了。所有小迴路之和坍縮成那一圈大迴路，而所有小內部之和就是那個二重積分。這場大規模的相消，正是本級三大定理共同的發動機。
定向：哪個方向才算「正」？
格林定理只有在附上一套符號約定時才成立，弄反它就會把答案的正負號翻轉——所以這不是吹毛求疵，而是定理本身的一部分。邊界 C 必須按正向走過：外緣逆時針，使你行走時所圍區域始終留在你的左手邊。若區域中有一個洞（一隻墊圈、一個環形），則內邊界必須順時針走過，同樣讓物質留在你的左側。這正是你在上一篇裡佈置通量積分與定向曲面時遇到的那套定向記帳；本級的諸定理，除非邊界的方向與內部彼此一致，否則根本就配不平。
這套符號約定也正是格林定理能當作一台巧妙「面積計」的緣由。取場 F = (−y/2, x/2)；則 dQ/dx − dP/dy = 1/2 + 1/2 = 1，於是右邊的二重積分就恰好是 D 的面積。格林定理便說：面積等於繞邊界的單獨一個迴路積分——你可以只繞一塊區域的邊緣走一圈，從不踏進內部，便量出它的面積。這正是求積儀的原理：那種帶小輪子的器械，繪圖員當年沿著地圖海岸線滾一圈，就能讀出所圍的面積。邊界，真的記得住內部的一切。
斯托克斯定理：把格林抬入空間
現在把迴路從平直的桌面上拿起來，彎進三維——讓它成為一張肥皂膜的金屬絲邊框，一條在空間中的曲線 C，繃著某張垂落其上的彎曲曲面 S。平面裡管用的一切，在這裡都該照樣管用，只是如今「內部」是一張漂在三維裡的二維曲面，而「打旋」擁有完整旋度的全部三個分量，而不只是二維裡倖存的那一個。這一推廣便是[[stokes-theorem|斯托克斯定理]]：F 繞邊界曲線 C 的環量，等於 F 的旋度與曲面法向量點乘後在 S 上的曲面積分——即 nabla cross F 穿過 S 的通量。
把這句話慢慢讀：繞邊界的環量，等於穿過內部的旋度通量。第一篇裡的局部旋轉——旋度 nabla cross F，每點上的一支箭頭——在這裡不是用它外散多少來量度，而是用它有多少穿透了曲面來量度，正是曲面積分那一篇裡的通量想法。斯托克斯定理說：邊界迴路積分把繃在其上的那張膜所被穿過的全部旋度，收進了單獨一個數裡。格林定理不過是其中的特例：曲面 S 恰好是 xy 平面裡的一塊平坦補片、法向量筆直朝上、旋度中只有 dQ/dx − dP/dy 這個分量倖存下來。同一條定理，只是多富了一維。
最令人驚訝的後果，是斯托克斯定理白送你的一條：要緊的不是曲面，只是它的邊框。方程左邊只提到邊界曲線 C；右邊從來不必交代你究竟繃的是哪一張曲面 S。於是任意兩張共享同一條邊界迴路的曲面，必給出相同的旋度通量——把肥皂膜鼓成一個圓頂，或捏成一個馬鞍，只要金屬絲邊框不變，穿過它的通量就一模一樣。（這之所以成立，是因為旋度的散度恆為零，正是第一篇裡的一條向量恆等式：兩張這樣的曲面合起來圍成的封閉氣泡，沒有任何東西從側面漏出。）單憑邊界，便釘死了答案。
為何旋度是單位面積上的打旋
斯托克斯定理終於也講清了旋度究竟意味著什麼——它給了這個局部量一個誠實的定義。把迴路收縮成繞單獨一點、面積為 A 的一個小圓。斯托克斯定理說，繞那個小迴路的環量，等於穿過那個小圓盤的旋度通量，而對一塊趨於消失的小補片，這約等於（旋度沿法向的分量）乘以 A。除以 A，再讓迴路縮成虛無，你便得到：某點處旋度的法向分量，等於繞該點最小迴路的「單位面積環量」。旋度不只是偏導數拼出的一個公式；它是環量的密度。
GREEN -> STOKES (boundary integral = inside integral, via curl)
Green (flat plane, region D, boundary curve C, ccw):
loop_C ( P dx + Q dy ) = area_D ( dQ/dx - dP/dy ) dA
\__ circulation around C __/ \__ curl-flux through D __/
Stokes (curved surface S in 3D, boundary curve C):
loop_C ( F . dr ) = surf_S ( nabla x F ) . n dS
\_ circulation _/ \__ flux of the curl through S __/
Green = Stokes with S a flat patch of the xy-plane, n = +z,
so only the z-component (dQ/dx - dP/dy) of the curl survives.
Local meaning (shrink the loop, area A -> 0):
(nabla x F) . n = lim ( circulation around loop / A )
i.e. curl = circulation per unit area.這些定理並非記帳上的奇趣——它們是物理學字面上的語法，正如本級標題所許諾。把場 F 取作磁場，斯托克斯定理便是安培定律：繞一根導線的磁場環量，等於穿過該迴路所圍任意一張曲面的電流。在法拉第定律裡，它把變化的磁通量與繞其迴路環行的電壓繫在一起。剝去場的名字，二者其實是同一句話：在邊緣上環行的，由內部打旋的所餵養。這同一條等式，托起了流體中的渦旋、機翼上的升力，以及讓那些學科運轉的守恆律。
一個模式，以及接下來是什麼
退後一步，留意你如今已經三次見到同一個形狀。第二篇裡的梯度定理說：勢在兩個端點之間的變化，等於它的梯度沿連接二者的路徑的積分——這裡的邊界是那兩個端點。格林定理與斯托克斯定理說：沿一條邊界曲線的環量，等於旋度在它所圍曲面上的積分——這裡的邊界如今是一圈迴路。在每一種情形裡，一個導數在某區域上的積分，都等於原物在該區域邊界上的積分。邊界一再現身，是因為邊界正是相消停下來的地方。
- 先認出結構：選定場 F = (P, Q)（在空間中是 (P, Q, R)）與閉合邊界曲線 C，再認清 C 所圍的區域 D（平面）或曲面 S（彎曲）。
- 定好方向：沿 C 行走時讓區域留在你的左側（外緣逆時針），並依右手定則選取與之匹配的曲面法向量 n。
- 以難換易：把迴路積分換成內部積分（格林）或穿過 S 的旋度通量（斯托克斯）——若繞邊界走才是更簡單的算法，也可反向而行。
- 檢查奇點：若 F 在區域內部爆掉，就在壞點周圍挖去一個小迴路，改對這塊挖了洞的區域施行定理。
下一篇將以散度定理補全這三件套，它把穿過一張閉合曲面的通量，換成內部累加的散度——這是與本篇環量故事相對應的「外散」版本。再往本卷深處去，微分形式那幾篇將揭示：梯度定理、格林、斯托克斯與散度定理並非四個表親，而是同一個陳述的不同偽裝，即廣義斯托克斯定理：d-omega 在一塊區域上的積分，等於 omega 在其邊界上的積分。你在這裡遇到的一切，都只是那一個方程的一行，被讀在三維之中。