從一條曲線到一張薄片
上一篇把一個向量場沿一維路徑累加起來：那是一個線積分，即你拖動某物沿曲線行進時所做的總功。現在我們上升一維。代替一根導線的，是一張薄片——一塊球面、一片平面方塊、一隻圓柱彎曲的側壁——而我們要在這二維曲面上累加某個量。這就是曲面積分，從曲線到薄片這一步，正與第一卷裡從普通定積分到二重積分那一步如出一轍：一個積分號變成兩個，因為一張薄片有兩個方向可供掃過。
實際上有兩種風味，從一開始就值得把它們分清。第一種是純量的曲面積分——把一個純量場 f 在薄片上積分，寫作 f 乘 dS 的二重積分。設想把厚薄不均的漆塗在一片彎曲的屋頂上，問漆的總質量：你並不在意屋頂朝哪一面，只稱量落在每一小塊上的東西。第二種風味是向量場的通量積分，那裡曲面的朝向就是一切。本篇先搭建較溫和的純量那種，再用它來組裝通量。
先把薄片參數化，再稱量每一小塊
要在彎曲曲面上積分，你得先描述它。標準手段是參數化：一個映射 r(u, v)，把一塊平直的 (u, v) 取值矩形彎折成置於空間中的曲面，r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。譬如單位球面，由兩個角度掃出；而圖像 z = g(x, y) 則是簡單情形，此時 x 與 y 本身就是參數。參數 u 與 v 像是印在薄片上的緯線與經線：曲面的每一點都得到一個地址 (u, v)，而參數空間裡一個 du 乘 dv 的小矩形，映成曲面上一小塊彎曲的補片。
這一小塊有多大？固定 v、輕推 u：該點便沿曲面滑動，速度為 r_u = partial r / partial u，即位置對 u 的偏導數。改推 v，則得到 r_v = partial r / partial v。這兩個切向量張起那一小塊，它極接近一個以 r_u du 與 r_v dv 為邊的平行四邊形。以兩個向量為邊的平行四邊形面積，等於它們叉積的長度，所以這塊的面積是 |r_u cross r_v| du dv。這個模長就是局部的拉伸因子——平直的參數矩形被彎到曲面上時被放大了多少——它正是任何變數替換下用來重新標度面積的那個雅可比行列式在曲面上的對應物。
現在純量曲面積分便自行組裝起來。曲面面積元是 dS = |r_u cross r_v| du dv，而 f 在薄片 S 上的曲面積分，就是在參數矩形上對 f(r(u, v)) 乘以那個 dS 所作的二重積分。讀出來便是：在每一小塊上，取該處場的值，乘以這塊真實的（已拉伸的）面積，再在整個矩形上累加。若 f 恆為 1，你恰好回收得到曲面面積本身——一個讓人安心的核對，表明這套機器度量的正是它該度量的東西。
定向：選定一面並堅持到底
對通量而言，我們要的不止是面積——還要知道薄片朝哪一面。曲面在每一點都有兩個單位法向量，分別指向它的兩側；叉積給出一個天然的法向量，n = (r_u cross r_v) / |r_u cross r_v|，一支單位長、與兩個切方向都垂直的箭頭。給曲面定向，就是在這兩者之間作出一個整體的、連續的選擇：球面的向外對向內，圖像的向上對向下。一旦選定，這個 n 必須隨你在薄片上滑動而平滑變化——不得突然翻轉。
反轉定向——選取另一個法向量 -n——會把你算出的每一個通量都變號，正如反轉你描繪曲線的方向會把線積分變號一樣。所以一個有向曲面積分只有在你認定了某一面之後才有定義，而你必須言明是哪一面。還有一條邊界約定，下一篇裡將關係重大：若曲面帶有邊緣，薄片的定向便挑定一個繞其邊界曲線行走的方向，由右手定則固定——讓右手拇指順著 n，四指便沿邊緣的正方向捲曲。記住這幅畫；它正是斯托克斯定理轉動所憑的那道樞紐。
通量：有多少場傾瀉而過
現在把向量場 F 想像成一種流動——比方說流體的速度，每一點上一支箭頭，告訴你水朝哪個方向、以多快流動。F 穿過一個有向曲面的通量，就是單位時間內淨穿越它的流體體積，沿 n 方向記為正、逆 n 方向記為負。關鍵的洞見是：只有刺穿薄片的那部分流動才有貢獻；沿曲面滑行、與之平行的流動，什麼也帶不過去。把刺穿那部分提取出來的器械，是點積：F . n 是流動沿法向的分量，即流體實際穿越的速率。
於是通量積分就是那個法向分量的曲面積分：F . n dS 在 S 上的二重積分。一塊接一塊，你取該處流體穿越的快慢（F . n），乘以這塊的面積（dS），再相加。一旦你想起 n dS = (r_u cross r_v / |r_u cross r_v|) 乘以 |r_u cross r_v| du dv，便有一條優美而緊湊的捷徑——模長相消，你剩下的是向量曲面元 dS = (r_u cross r_v) du dv，一支方向為法向、長度為補片面積的箭頭。於是通量不過是 F . (r_u cross r_v) du dv 的二重積分，根本不必算平方根。定向則完全寄居於 r_u cross r_v 與 r_v cross r_u 的次序之中。
一次從頭到尾算出的通量
讓我們度量徑向場 F = (x, y, z) 向外穿過單位球面的通量——這是最乾淨不過的例子，也是我們稍後可以拿散度定理來核對的一個數。用兩個角度參數化：r(theta, phi) = (sin phi cos theta, sin phi sin theta, cos phi)，其中 phi 從 0（北極）跑到 pi（南極），theta 繞一圈從 0 到 2 pi。下面的步驟把它走完；唯一的手藝，是算一個叉積、一個點積，隨後是一個例行的二重積分。
- 切向量：r_theta = (-sin phi sin theta, sin phi cos theta, 0)，r_phi = (cos phi cos theta, cos phi sin theta, -sin phi)。
- 向量曲面元：r_phi cross r_theta 算得 sin phi 乘 (sin phi cos theta, sin phi sin theta, cos phi) = sin phi · r。它指向徑向外側（之所以取「先 phi 後 theta」的次序就是為此）——符號核對通過。
- 與場作點積：在球面上 F = r，故 F . (r_phi cross r_theta) = sin phi (r . r) = sin phi，因為單位球面上 r . r = 1。
- 積分：通量 = theta 從 0 到 2 pi、phi 從 0 到 pi 對 sin phi dphi dtheta 的積分 = 2 pi 乘以（sin phi 從 0 到 pi 的積分）= 2 pi 乘 2 = 4 pi。
答案 4 pi，恰好是單位球面的表面積——這很合理，因為徑向場在球面上處處單位長、筆直向外，故每一小塊上 F . n = 1，通量便不過是總面積。這個結果也值得收存起來：它正是點電荷高斯定律裡出現的那個 4 pi，而在隔一篇之後，散度定理會把這個曲面積分變成 F 的散度的體積分，瞬間重現它——對 F = (x, y, z)，散度是常數 3，3 乘單位球的體積 3 · (4/3) pi，又是 4 pi。兩條路，一個數；這份吻合，正是後續那些定理的全部要旨。
為什麼這套記帳要緊
人們很容易把定向當作吹毛求疵的細節，但它是隨後一切的承重之念。那幾大積分定理都有相同的構架：區域上的積分等於其邊界上的積分——前提是邊界與區域的定向彼此相容。斯托克斯定理把 F 繞一條閉曲線的環量，等同於其旋度穿過該曲線所圍任一曲面的通量；我們上面遇到的右手定則，正是使兩邊符號相符而非相消的關鍵。散度定理把穿過閉曲面的向外通量，等同於內部散度的積分；這裡的「向外」是不容商量的定向。把面弄錯，一條真定理就成了一個符號錯誤。
還有一條關於光滑性的告誡，與定向那條出自同樣誠實的精神。面積元 dS 來自切向量的叉積，這就假定了曲面有良好定義的切向——它必須光滑，至多由有限多片光滑曲面拼成。在尖銳的錐頂或立方體的接縫處，法向是無定義的，你處理這類曲面的辦法，是把它們拆成若干光滑的面、各自一致地定向、再求和。這些定理之所以容許分片光滑曲面，恰恰因為穿過一條稜邊（一個面積為零的集合）的通量毫無貢獻。光滑性與可定向性是兩條常駐的前提；點明它們，格林、斯托克斯與高斯的語法便可以開口言說了。