沿路徑累加功
在第一卷裡，定積分沿 x 軸的一段直線累加某個量：把 [a, b] 切成微小的小段，每段乘以 f 在那裡的高度，再求和。線積分做的是完全一樣的事，只是路徑不再是一段平直的區間——而是一條在空間中蜿蜒的曲線 C，並且我們累加的不是高度，而是一個向量場的推力。想像你沿一條彎曲的小徑走過一陣穩定的風。每走一步你前進一個微小的位移向量 dr，而那裡的風有自己的向量 F。風在這一步上做的功就是點積 F · dr——只有與你運動方向一致的那部分風算數。
把這些微小的點積沿整條曲線求和並取極限，你就得到線積分，記作「沿 C 對 F · dr 的積分」。這正是物理中的功積分：力在物體沿 C 行進時所做的總功。要真正算它，你用一個參數 t 描出曲線——比如 r(t) = (x(t), y(t))，t 從 0 到 1——於是 dr = r'(t) dt。整個表達式塌縮回一個關於 t 的普通單變量積分：「從 0 到 1 對 F(r(t)) · r'(t) dt 的積分」。這就是實用配方；本指南其餘部分講的是什麼時候可以不必這麼辛苦地硬算。
意外：有時路徑無關緊要
下面這個實驗打開了整個主題。挑兩個點 A 和 B。沿一條路徑計算 F 從 A 到 B 的線積分；然後沿一條迥然不同的路徑再算一次。對一般的場，這兩個數不相等——花費的功取決於路線，就像你開車橫穿城市燒掉的汽油取決於你走哪些街道。但對某些特殊的場，從 A 到 B 的每一條路徑都給出完全相同的答案。這個場具有路徑無關性：積分只取決於端點，與中間如何蜿蜒毫無關係。
路徑無關性有一個等價、甚至更驚人的面孔。如果每一條 A 到 B 的路徑都給出同一個數，那麼取任意一個迴路——回到出發點的閉合曲線——把它拆成去程和回程。兩段相互抵消，於是沿任意閉合迴路的線積分為零。具有這一性質的場叫做[[conservative-field|保守場]]，這名字直接借自物理：引力和靜電場是保守的，這恰恰是能量守恆的陳述——你不可能繞一個閉合迴路一圈，回來時口袋裡憑空多出功。相比之下，摩擦力是非保守的：拖著它走一個閉合迴路，你付出的能量是實打實的、永遠拿不回來。
無關路徑的答案藏在哪裡：純量勢
為什麼一個場會如此規矩？因為它暗地裡是某一片地形的坡度。設想一個純量高度函數 phi(x, y, z)——一個純量勢，給每個點指派一個普通的數，就像地形圖上的海拔。由第一卷和之前的多變量階段你知道梯度 nabla phi：指向最陡上升方向的向量，其長度等於最陡的坡度。一個場恰好在它「就是」這樣一個梯度時是保守的——即對某個 phi 有 F = nabla phi。這個力處處只是指向「phi 的下坡」（或按約定指向上坡），而正是這片隱藏的地形讓路線不再重要。
在二維有一個快速的現場檢驗。寫 F = (P, Q)。如果 F 來自一個勢，那麼混合偏導數必須相等——P 對 y 的偏導數必須等於 Q 對 x 的偏導數。（這不過是把二階導數的克萊羅對稱性用到 phi 上。）當這個等式在一個沒有洞的區域上成立時，F 是保守的、勢存在；把 P dy 與 Q dx 拼成一個對象，就是高等微積分所說的[[exact-form|恰當形式]]，即 phi 的微分。誠實的告誡在「沒有洞」三個字裡：在帶有穿孔的區域上，檢驗可能局部通過，但場仍繞著洞環流，於是不存在單值的全域勢。經典例子是像 1/r 那樣繞原點打旋的場——局部無旋，全域卻不保守。
梯度定理：路徑上的微積分基本定理
回憶第一卷的微積分基本定理：把一個導數 f' 從 a 積到 b，只是返回 f(b) - f(a)。你從不累加內部；你在兩端讀出原函數再相減。[[gradient-theorem|梯度定理]]——也叫線積分基本定理——正是這同一陳述抬升到曲線上的版本。若 F = nabla phi，則「沿 C 對 nabla phi · dr 的積分 = phi(B) - phi(A)」，其中 A 與 B 是曲線的起點和終點。路徑的內部蒸發了；只剩下兩個端點處的勢。
證明是一行鏈式法則，值得一看，因為它揭示了定理為何必然成立。用 r(t)（t 從 a 到 b）參數化 C。沿曲線，勢變成一個單變量函數 g(t) = phi(r(t))。多變量鏈式法則給出 g'(t) = nabla phi(r(t)) · r'(t)——這恰恰是我們線積分的被積函數。於是我們在把 g'(t) 從 a 積到 b，而普通的微積分基本定理把它收尾為 g(b) - g(a) = phi(B) - phi(A)。路徑無關的全部神秘，不過是鏈式法則披了件外套。
Goal: integral over C of F . dr, where F = (2xy, x^2 + 1), A=(0,0), B=(1,3)
Step 1 Test: d/dy [2xy] = 2x, d/dx [x^2 + 1] = 2x -> equal -> conservative
Step 2 Find phi with dphi/dx = 2xy -> phi = x^2 y + h(y)
Step 3 Then dphi/dy = x^2 + h'(y) must equal x^2 + 1 -> h'(y)=1 -> h(y)=y
so phi(x,y) = x^2 y + y
Step 4 Gradient theorem: phi(B) - phi(A) = phi(1,3) - phi(0,0)
= (1*3 + 3) - (0 + 0) = 6
No path was ever chosen. Any curve from (0,0) to (1,3) gives 6.一步步構造勢函數
一旦混合偏導檢驗通過，還原 phi 就是一套俐落的偏積分流程——一次一個變量地把梯度倒著跑回去。訣竅在於：對一個變量積分會留下一個未知的「常數」，它可能仍依賴於其他變量，而剩下的方程把它釘死。下面是二維場 F = (P, Q) 的流程。
- 在無洞區域上檢查 P 對 y 的偏導是否等於 Q 對 x 的偏導。若不相等，停下——勢不存在，你必須沿真實路徑積分。
- 把 P 對 x 積分，把 y 當作凍結。這給出 phi，外加一個未知函數 h(y)，因為只依賴 y 的項在對 x 求偏導時會消失。
- 把你得到的候選 phi 對 y 求導，並令它等於 Q。含 x 的項相互抵消，剩下一個關於 h'(y) 的簡單方程。
- 把 h'(y) 積分得到 h(y)，拼出完整的 phi，然後用梯度定理收尾這個場上的任何線積分：只需算 phi(終點) 減 phi(起點)。
本指南是這一階的樞紐。線積分是原始對象——沿路徑的功——而保守場是那個走運的情形，梯度定理讓路徑消失。後面的積分定理處理一般情形：格林定理會把迴路積分改寫成關於場旋轉多少的面積積分，而你剛遇到的梯度定理是一座高塔的最低一階，塔頂是廣義斯托克斯定理。「在區域上積分一個導數，在邊界上讀出它的原函數」這一句話，是整個向量微積分祕密的心跳——而你現在已在曲線上見過它了。