場：空間中每一點上的一個值
走進本級所棲身的世界。在第一卷裡，一個函數吃進一個數、吐回一個數；連向量場你在那裡也只是匆匆一瞥。在這裡，基本對象是一個場：一條把值釘在某塊空間區域裡每一個點上的規則。如果那個值是單獨一個數——房間裡的溫度、空氣中的壓強、小山在每一塊地面之上的高度——它就是一個[[scalar-field|標量場]]，記作 f(x, y, z)。想象那個房間：每一點上有一個數，即溫度，而整個布置就是一片填滿空間的、平滑的暖意地貌。
但許多量並不是單獨一個數——它們既有大小，又有方向。流動河水的速度、風、引力的牽引、每一點上的電場力：這些都是給每一點繫上一支箭頭、而不是一個數。這就是一個[[vector-field-advanced|向量場]]，記作 F(x, y, z) = (P, Q, R)，其中 P、Q、R 各自是位置的普通標量函數，給出箭頭的三個分量。想象那條河：每一點上都坐著一支小箭頭，顯示水往哪個方向流、流得多快——一整片箭頭的海洋，時而打著旋，時而筆直奔流。正是這樣的力場與流場，應了本級標題的承諾，也正是向量微積分存在的理由。
del：一支你能用來求導的向量
現在來認識那件統領全局的工具：[[del-operator|del 算子]]，寫作 nabla，讀作「del」。它是一個大膽而單純的想法——把三個偏導數打包成一支向量。用符號寫，nabla = (d/dx, d/dy, d/dz)：一支箭頭，它的三個槽位裡裝的不是數，而是三道指令——「對 x 求導」「對 y 求導」「對 z 求導」。回想第一卷：偏導數 d/dx 量度一個多元量在你只推動 x、其餘凍住時如何變化；nabla 不過是把這三種推動一併收進一個對象，讓它像普通向量在空間裡指方向那樣，指出「求導的方向」。
這樣打包為何如此有力，道理在這裡。一支向量與另一個量做代數運算，恰好只有三種方式，而 nabla 三種全都遵從。你可以把向量乘到一個標量上（標量乘向量）；可以取兩支向量的點積（向量點向量，得一個數）；還可以取兩支向量的叉積（向量叉向量，得一支新向量）。把這三者分別施於 nabla，你便一舉生成向量微積分的三種基本導數：nabla f 是梯度，nabla dot F 是散度，nabla cross F 是旋度。用一支向量的三種方式，對應三種導數——這就是全部的骨架，接下來的三節將逐一拆解。
梯度：最陡坡的方向
把 nabla 指向一個標量場，你得到梯度，nabla f = (df/dx, df/dy, df/dz)。它接過一片地貌，在每一點上交回一支箭頭。你在第一卷裡見過它，就是多元函數的梯度；讓它牢牢扎根的畫面是那座山。設 f 是小山在每一塊地面之上的高度。那麼某處的 nabla f 就是指向[[gradient-steepest-ascent|最陡上升]]方向的箭頭——一顆彈珠若往上坡滾，會沿的那個方向——而它的長度恰是那最陡攀升有多陡。山平坦處梯度為零向量；山驟降處梯度則很長。
兩個事實讓梯度不可或缺，二者都直接從那幅畫裡流出。第一，梯度始終垂直於等值集——那些等高的等高線——因為沿一條等高線高度根本不變，於是「變化最陡」的箭頭必然橫著穿過等高線、而不沿著它。第二，梯度是一切方向坡度的總鑰匙：你沿任意單位方向 u 行走時 f 的變化率，恰是點積 nabla f dot u，這正是多元那一級裡方向導數說精確了的事。於是單單一支梯度向量，就一次性含住了每一個方向上的坡度——把它和你選定要走的那個方向點乘一下即可。
散度：一股流向外鋪開多少
現在把 nabla 點入一個向量場，你得到[[calc-divergence|散度]]，每點上是單獨一個標量：nabla dot F = dP/dx + dQ/dy + dR/dz。它接過一股流動，交回一個量度「外散」的數。再想那條河，把鏡頭推近，對準漂在水流裡一隻想象中的小方盒水。那一處的散度問：離開盒子的水，是不是比進入盒子的水多？正的散度意味著淨流出——該點像一個微小的源，一隻往裡加流體的水龍頭。負的散度意味著淨流入——一個匯，一道把它吞下去的排水口。散度為零，意味著流進多少便流出多少，盒子既不增也不減；這樣的流動稱為不可壓縮。
留意這次類型的轉變，並好好品味它：散度吃進一個向量場（每點一支箭頭），交回一個標量場（每點一個數）。這正是點積在盡它的本分——兩支向量的點積總是一個數。它算出的那個數是地地道道局部的：某點的 nabla dot F 只取決於該點緊鄰的小鄰域裡箭頭如何變化，是「流出減流入」的無窮小版本。這個局部的「外散率」，是本級即將登場的一條大定理的種子——散度定理，它會把一塊區域內部所有這種微觀外散加起來，得到穿過其表面向外的總通量。眼下，只把散度讀作每一點上的「源或匯」的強度。
旋度：一股流旋轉多少
用向量 nabla 的第三種、也是最後一種方式是叉積，它給出[[curl|旋度]]，nabla cross F——又是一個向量場，因為兩支向量的叉積是一支向量。散度量度外散，旋度則量度旋轉。在某點的流動裡放下一隻小小的槳輪。如果水在一側推得比另一側更狠，槳輪就轉起來。那一點的旋度，就是記錄這局部旋轉的箭頭：它沿槳輪所繞的轉軸指向（依右手定則——右手四指隨旋轉彎曲，拇指即給出方向），其長度是局部轉動速率的兩倍。流動無打旋處旋度為零，這樣的場稱為無旋。
有一個常見的陷阱值得立刻點明：旋度說的是局部的旋轉，而不是整股流動整體上是否繞著圈走。水緊緊旋著沖下排水孔，與水沿一條又寬又直的河滑行，二者都可能有旋度、也都可能沒有，全看那「切變」——相鄰流線是否以不同速度運動。一股完美的圓形流動，若外圈的水恰好落後得足夠多，也可以是無旋的；而一股筆直的流動，若一岸跑得比另一岸快、把那隻小槳輪擰動，也可以有旋度。檢驗始終如一：一隻自由漂浮的槳輪會不會繞自己的中心轉？這——而非流線的形狀——才是旋度所探測的。
把三者合在一起
ONE OPERATOR, THREE DERIVATIVES ( nabla = (d/dx, d/dy, d/dz) )
gradient nabla f scalar field -> vector field (slope, steepest ascent)
divergence nabla . F vector field -> scalar field (spreading: source/sink)
curl nabla x F vector field -> vector field (rotation: local spin)
Two identities that are always true (for smooth fields):
curl of a gradient = 0 nabla x (nabla f) = 0 gradients never swirl
div of a curl = 0 nabla . (nabla x F) = 0 curls never spread
Divergence of a gradient = the Laplacian:
nabla . (nabla f) = nabla^2 f = d2f/dx2 + d2f/dy2 + d2f/dz2盒子裡那兩條[[vector-identities|向量恆等式]]值得停一停，因為它們不是偶然——它們就是 nabla 與自己的點積和叉積，從同一套代數裡落出來。任何梯度的旋度為零，nabla cross (nabla f) = 0，呼應著「一支向量與自身叉乘為零」：一個純粹是坡度的場，永遠不會打旋。任何旋度的散度為零，nabla dot (nabla cross F) = 0，呼應著「一支向量先點後叉為零」：一個純粹是旋轉的場，永遠不會外散。這兩個事實，是日後積分定理、以及整個勢的概念賴以轉動的、不聲不響的合頁。
還有一種組合，而它是數學物理裡最重要的算子：梯度的散度，nabla dot (nabla f) = nabla^2 f，拉普拉斯算子。它把那些純二階導數 d2f/dx2 + d2f/dy2 + d2f/dz2 加起來，量度一點上的值與其鄰居的平均值相差多少——這是擴散、穩態溫度、靜電學的核心。你也會遇到與之相關的向量拉普拉斯算子。拉普拉斯算子正是這些算子超越「記帳」之所以要緊的緣由：它坐鎮那幾大偏微分方程——熱方程、波動方程、拉普拉斯方程——的正中央，而本卷餘下的內容，正是為解它們而建。
- 先認清場的類型：是標量場 f（每點一個數）還是向量場 F（每點一支箭頭）。這決定了哪個算子才有資格作用。
- 對標量場，取梯度 nabla f，得到最陡坡的箭頭——一個垂直於等值集的向量場。
- 對向量場，取散度 nabla dot F（一個標量：淨外散）和旋度 nabla cross F（一個向量：局部旋轉）。
- 需要時再組合：先梯度後散度給出拉普拉斯算子 nabla^2 f；並記住「梯度的旋度」與「旋度的散度」恆為零。