一道擲向全歐洲的挑戰
1696 年，約翰·伯努利公開下了一道戰書：在高度不同的兩點之間，找出一段金屬絲的形狀，讓一顆小珠在重力作用下、無摩擦地沿它滑下所用時間最短。不是直線，不是顯而易見的圓弧，而是真正最快的曲線。這就是最速降線（希臘語意為「最短時間」）。訣竅在於：你要極小化的不是一個數，而是一整條曲線，而下滑時間是一個泛函——一台吃進函數 y(x)、吐出一個數的機器。正是這一步轉變，從對數尋優轉為對函數尋優，孕育了整個學科。
可時間到底怎麼寫下來？回憶第一卷的內容：一小步上的弧長是 ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx，由導數 y' = dy/dx 構成。能量守恆給出下落高度 y 之後的速度 v = sqrt(2 g y)。時間等於路程除以速度，所以總下滑時間就是這個定積分 T[y] = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(2 g y) 對 x 的積分。現在我們要找出使這個積分盡可能小的 y(x)——這正是歐拉–拉格朗日機器為之而生的那類問題。
貝爾特拉米捷徑
三個經典問題都有一個幸運的共同點：被積函數 F(y, y') 不顯含 x。一旦如此，你就不必動用完整的二階歐拉–拉格朗日方程，而是可以免費獲得貝爾特拉米恆等式給出的一個首次積分：F - y' (partial F / partial y') = 常數。它是能量守恆在變分世界中的迴聲——當遊戲規則不依賴於你在 x 軸上的位置時，就會掉出一個守恆量，正如一條不顯含時間的定律守恆能量一樣。這是諾特定理對你的第一聲低語。
Full equation: d/dx ( dF/dy' ) - dF/dy = 0 If F has no explicit x (F = F(y, y')): Beltrami: F - y' * (dF/dy') = C (a constant) This turns a 2nd-order ODE into a 1st-order one.
求解最速降線
把 F = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(y) 代入貝爾特拉米（略去常數 2g，它只起縮放作用）。整理之後，守恆量給出 y (1 + y'^2) = 常數。求解這個一階關係，浮現出來的曲線是一條擺線——滾動車輪邊緣上一點所描出的路徑。參數式為 x = r(theta - sin theta), y = r(1 - cos theta)。答案既不是拋物線也不是圓弧；它在起點處陡然俯衝以積累速度，隨後趨於平緩。大自然最快的滑道，是一條滾輪曲線。
- 把下滑時間寫成泛函 T[y] = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(2 g y) 對 x 的積分。
- 注意到 F 不顯含 x，於是改用貝爾特拉米恆等式，而非完整方程。
- 把首次積分化簡為 y (1 + y'^2) = 常數，這是一個可分離變量的一階常微分方程。
- 代入 y = r(1 - cos theta)；積分便化為擺線 x = r(theta - sin theta)。
懸掛的鏈條與最短的路徑
接下來是懸鏈線：把一條柔軟的鏈子掛在兩枚釘子上，問它最終會安頓成什麼形狀。從物理上說它極小化重力勢能，也就是極小化以高度加權的長度積分 y sqrt(1 + y'^2) 對 x 的積分——但只能在總長度固定的曲線之中比較。這條長度約束使它成為一個等周問題，要用泛函的拉格朗日乘子來處理。再次施以貝爾特拉米，解便是雙曲餘弦：y = a cosh(x/a)。眾所周知，懸鏈線並不是拋物線，儘管兩者在底部附近看起來驚人地相似——這是一個值得糾正的經典誤解。
再來是測地線：曲面上兩點之間的最短路徑。在平面上，長度泛函 sqrt(1 + y'^2) 對 x 的積分由一條直線取得極小——代入歐拉–拉格朗日，得到 y'' = 0，恰如所料。在曲面上，同樣的想法經過測地線方程後會讓答案彎曲：球面上最短的路線是大圓，這正是遠程航班向極地拱起的原因。測地線正是變分法把接力棒交給微分幾何、並最終交給廣義相對論的地方。
肥皂膜與誠實的提醒
把兩個同軸的圓環浸入肥皂水，環間的薄膜就是一張極小曲面——它極小化面積，因為表面張力把它拉得緊繃。把面積泛函送入歐拉–拉格朗日（x 再次缺席，故貝爾特拉米適用），得到的是懸鏈面，即把懸鏈線 y = a cosh(x/a) 旋轉一週所成的曲面。同一個雙曲餘弦，既支配著肥皂膜的極小曲面，也支配著懸掛的鏈條——這是一個靜默而優美的巧合，實質上是同一種變分結構披著兩件不同的外衣。
再補一句誠實話：駐定解未必存在，也未必唯一。把肥皂膜問題的兩個圓環拉得太開，懸鏈面的解就乾脆失效了——薄膜會突變成兩片平圓盤。歐拉–拉格朗日條件是必要條件，而非什麼存在性的魔法保證；這些經典問題之所以珍貴，恰恰在於它們既展示了方法的威力，也指明了你必須用物理常識去核驗答案的地方。