協變導數、測地線與通往相對論之路

普通導數為何在彎曲空間上失靈

你來到本級這最後一篇時，所需的一切已盡數在握。從前幾篇你已得到指標記號的語言與愛因斯坦求和約定（一對一上一下重複的指標默默地被求和），尤其是那台借線元 ds^2 = g_ij dx^i dx^j 在彎曲空間上量度長度與角度的小機器——[[metric-tensor|度規張量]] g_ij。所缺的，是微積分。我們能在彎曲空間上量度，卻還不能誠實地對其上的一個向量場求導——而這道缺口，正是本篇的全部主題。

回想第一卷裡的導數：求導，就是把此處的一個向量與近在咫尺處的另一個向量相比、相減，再除以那一小步。問題就出在那個相減上。在用直角坐標的平坦平面上，基向量箭頭 e_x 與 e_y 處處指向同一方向，於是把兩個相鄰向量相減是公平的。可一旦改用極坐標，或踏上一個球面，基向量本身就會隨你移動而擺動——某點的徑向，並不是隔壁那點的徑向。此時單單把分量相減，便是拿蘋果比橘子，因為你忽略了量度網格已在你腳下轉過了身。

克里斯托費爾符號：轉動網格的記帳員

修正之路，始於精確寫下你每邁一步、每個基向量轉動了多少。把基向量 e_i 沿 j 方向求導；結果仍是一個向量，於是它必能寫成基向量的組合，其係數我們命名為[[christoffel-symbol|克里斯托費爾符號]] Gamma^k_ij。把這符號讀出聲：「當你把第 i 支基箭頭沿 j 方向推一下時，你拾起了多少第 k 支基箭頭」。它們不是張量——在直角坐標下它們消失，在同一張平坦平面的極坐標下又冒出來——這正洩露了它們編碼的是網格的行為，而非空間的行為。它們純是一個轉動著的標架的記帳。

美妙之處在於，你從不必去猜這些係數：單憑度規便決定了它們。一旦你在每點知道 g_ij，克里斯托費爾符號就被一條完全由度規偏導數搭成的公式釘死：Gamma^k_ij = (1/2) g^km ( dg_mi/dx^j + dg_mj/dx^i - dg_ij/dx^m )，其中 g^km 是逆度規。於是度規——那個曾給你長度與角度的同一件東西——悄悄告訴你坐標標架如何隨點而扭轉。因此下游的一切：導數、最直路徑、曲率，都可僅憑 g_ij 算出，別無所需。

協變導數：終於有了一個誠實的導數

現在把解藥配齊。要誠實地對一個向量場 V 求導，就取其分量的普通偏導數，再加上一項把基的轉動補回去的修正。這個總和便是[[covariant-derivative|協變導數]]，記作 nabla_j V^k = dV^k/dx^j + Gamma^k_jm V^m。第一項是那些數字的樸素變化；第二項，即克里斯托費爾那一塊，把網格擺動所造成的假象減除掉。倖存下來的，是向量本身的真實變化——無論你選哪套坐標都會報出同樣數值的那一部分。與樸素偏導數不同，協變導數是一個真正的張量，在任何坐標變換下都正確地變換。

THE COVARIANT DERIVATIVE  (raise the derivative to a curved space)

   nabla_j V^k  =  dV^k/dx^j   +   Gamma^k_jm V^m
                  \---------/      \-----------/
                  naive change      correction:
                  of the numbers    undo the turning of the basis

   built from the metric alone:

   Gamma^k_ij = (1/2) g^km ( dg_mi/dx^j + dg_mj/dx^i - dg_ij/dx^m )

   sanity checks:
     flat + Cartesian  ->  all Gamma = 0  ->  nabla = ordinary partial
     metric-compatible ->  nabla_k g_ij = 0   (the ruler never 'drifts')

協變導數是普通偏導數加上一項抵銷網格轉動的克里斯托費爾修正；這些符號全然來自度規，而在平坦的直角坐標下，一切又坍縮回那個熟悉的導數。

有一條性質為整套構造定錨：度規的協變導數為零，nabla_k g_ij = 0，稱為度規相容性。說白了，你用來量度的那把尺，在它自己的求導下從不改變長度——你那「距離」的觀念被一致地隨行攜帶。單這一條要求，連同「不許扭轉」（Gamma 對其兩個下指標對稱）的要求，便把克里斯托費爾符號唯一地釘死；這正是上面那條公式是被逼出來而非挑出來的緣由。協變導數，是那個尊重度規早已鋪設好之幾何的、獨一無二的誠實求導方式。

平行移動與盡可能筆直的路徑

有了誠實的導數在手，兩個宏大的念頭立刻落下來。第一個是[[parallel-transport|平行移動]]：沿一條路徑搬運一個向量，同時讓它「在空間所允許的限度內盡量保持不變」，即它沿該路徑的協變導數為零。你並非把分量凍住——你是讓分量恰好按克里斯托費爾那個量改變，好讓真實的箭頭巋然不動。令人吃驚的事實是：答案竟取決於路線——在球面上把一個向量沿一條閉合迴路平行移動，它回來時會轉過一個角，其大小等於所圍的面積。這種路徑依賴，正是曲率在自報家門，而它在平坦平面上毫無對應：那裡任何迴路總把向量原封不動地送回。

在彎曲空間裡選一條路徑，並在它的起點放一個初始向量 V。
向前邁出極小一步。基箭頭已微微轉動，於是 V 的分量必須恰好改變「負的克里斯托費爾修正」那麼多，才能讓真實箭頭繼續指向同一個物理方向。
一步接一步地重複；這無非是把方程「V 沿路徑的協變導數 = 0」一點一點地解出來。
現在取一個特例：若你所移動的向量正是路徑自身的速度，要求它始終與自己平行，便給出測地線方程——那條最直的路徑。

那最後一步帶來第二個宏大的念頭：[[calc-geodesic|測地線]]，即直線在彎曲空間裡的化身。直線，是那條永不轉彎的路；在彎曲空間上，「永不轉彎」意味著把自己的速度平行移動，於是給出測地線方程 d^2x^k/dt^2 + Gamma^k_ij (dx^i/dt)(dx^j/dt) = 0。把克里斯托費爾符號置零（平坦、直角坐標），它便讀作 d^2x^k/dt^2 = 0，其解是勻速的普通直線——牛頓第一定律。測地線同時也是最短路徑，你可以把它當作一個極小化 ds 之長度積分的歐拉-拉格朗日問題推導出來；在球面上它們就是大圓，這正是為何長途航班要朝兩極方向彎出弧線。

曲率，以及它如何成了引力

我們終於能為本級最深的那個對象命名了。在平坦空間上，按不同順序連取兩次協變導數，結果相同——次序無關緊要。在彎曲空間上則不然，而「先沿 i 再沿 j」與「先沿 j 再沿 i」之間的那道差，由[[riemann-curvature-tensor|黎曼曲率張量]] R^l_kij 來量度。它由克里斯托費爾符號及其導數搭成，是那個誠實的曲率：當且僅當空間真正平坦時，它在每一套坐標系裡都為零，無論坐標看上去多麼扭曲。它恰恰就是一個向量繞一個無窮小迴路平行移動後所拾起的那份轉動，被打包成了一個張量。

這就是那台化身為廣義相對論的整機器。愛因斯坦的飛躍，是把時空本身當成一個帶有自己度規的彎曲空間，其中的測地線正是自由下落的物體所循的路徑。在這幅圖裡，一顆繞日運行的行星根本沒有被任何力拉扯——它不過是沿著一條穿過「被太陽質量彎曲了的時空」的、可走的最直路徑在滑行。引力並非一種把東西拽離直線的力；它是直線本身的彎折。愛因斯坦的場方程於是用一行張量等式道出：物質與能量把時空彎曲了多少——左邊的曲率，等於右邊的物質-能量。