張量究竟是什麼：一台對坐標視而不見的機器
在上一份指南裡，你認識了指標記號，學會了分辨樓上的指標與樓下的指標。現在我們要說清，扛著這些指標的那個對象究竟是什麼。[[calc-tensor|張量]]是一台機器：它吃進若干向量與若干餘向量——給它填上正確數目的槽位——然後吐出一個實數，而且是多重線性地吐：對每個槽位分別是線性的，所以把某個輸入向量翻倍就把輸出翻倍，某個槽位裡的和拆成輸出的和。這就是全部定義。一個 (p, q) 型張量有 p 個吃餘向量的樓上槽位，與 q 個吃向量的樓下槽位。
其實你早就在擺弄小張量，只是沒用這個名字。一個純粹的數——一個標量——是 (0, 0) 張量：它什麼都不吃，它就是自己的值。一個向量是 (1, 0) 張量。一個餘向量——那個列向量表親，你可以把它想成微分形式裡的梯度槽位——是 (0, 1) 張量：遞給它一個向量，它返回一個數。一個吃進兩個向量、返回一個數的矩陣——比如點積，或一個雙線性型——是 (0, 2) 張量。「張量」一詞的要點不在那一堆數字的陣列；而在那台機器，而機器不在乎你是用哪套坐標把它的數字寫下來的。
分量與變換律
下面這幅圖能讓一切豁然貫通。彎曲曲面上的一支箭是一個固定不變的東西；當你用新坐標重寫它，它的分量會變，但箭本身不變。所以分量必須以一種極其特定、被編排好的方式去變，恰好抵消坐標軸的變化——好讓底下那個對象毫髮無損。記錄坐標軸如何變化的那件儀器，就是坐標變換的雅可比矩陣——那一陣列偏導數 dx'^i/dx^j，你在研究多元鏈式法則時遇見過它。兩類指標以兩種相反的方式回應它。
樓上的指標標記一個[[contravariant-and-covariant-components|逆變]]分量——一個向量分量 V^i。它「逆著」基底變換：V'^i = 對 j 求和 (dx'^i/dx^j) V^j。想想為什麼。如果你把尺子縮到一半長，同一支箭現在就需要兩倍數目的尺長去描述，所以它的分量隨基底的縮小而增大。樓下的指標標記一個協變分量——一個餘向量或梯度分量 omega_i——它以相反的方式變換，用逆雅可比矩陣：omega'_i = 對 j 求和 (dx^j/dx'^i) omega_j。函數的梯度是教科書式的例子：它的分量隨基底同向地縮放，因為更陡的座標會讓同一座山頭登記出更平緩的「每座標斜率」。
一般的 (p, q) 張量不過是把這些規則疊起來：每個樓上指標帶來一個雅可比因子 dx'/dx，每個樓下指標帶來一個逆雅可比因子 dx/dx'，全部對重複的指標求和。這正是[[tensor-transformation-law|張量變換律]]。而下面就是為整套機器正名的回報：當一個逆變 V^i 與一個協變 omega_i 配對並求和——那個縮併 對 i 求和 omega_i V^i——雅可比矩陣與它的逆相遇，由鏈式法則抵消為恆等。結果是一個純粹的數，在每套座標系裡都一模一樣。那一對左右手相反的變換，正是為了讓上指標與下指標配對時產出座標無關的東西而設計的。那一次抵消，就是整門學問的心跳。
度規張量：彎曲空間的尺子
到目前為止，張量能把東西配對、產出數字，但還沒有任何東西告訴你一段長度或一個夾角。在平坦的紙面上，你用勾股法則去量，ds^2 = dx^2 + dy^2；點積白白把長度與夾角交給你。在彎曲的曲面上——一個球面、一個鞍面、引力翹曲的時空——沒有全局的勾股法則，於是你在口袋裡揣著一條局部的：[[metric-tensor|度規張量]]，記作 g_ij。它是一個對稱的 (0, 2) 張量——兩個樓下槽位，都吃向量——它的職責就是度量。遞給它兩個向量 u 與 v，它返回它們的內積 對 i, j 求和 g_ij u^i v^j；把同一個向量遞給它兩次，它返回那個向量長度的平方。
你真正遇見度規的方式，是通過線元 ds^2 = 對 i, j 求和 g_ij dx^i dx^j——一小步的長度平方的配方。讀出一個具體的來。平面上用極座標 (r, theta)，一小步有 ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2，所以度規是對角矩陣 [1, 0; 0, r^2]。那個 r^2 就是全部故事：theta 方向上一弧度的步子，跨過的物理距離是 r 而不是 1，而度規正是記住這一點的東西。空間仍然是平的——還是那同一個平面——但座標是彎的，而度規承載著修正。真正的曲率，那種你用任何巧妙的座標變換都除不掉的曲率，住在再往前的一步，藏在度規如何隨點而變之中。
一旦有了 ds^2，有限曲線的長度便靠尋常的積分回歸——正是你在第一卷跑過的那個弧長定積分，只是改由度規供給被積函數。一條路徑的長度是沿它對 sqrt(ds^2) 的積分，也就是當參數 t 掃過曲線時對 sqrt(對 i, j 求和 g_ij (dx^i/dt)(dx^j/dt)) dt 的積分。在極座標平面上它重現出正確的周長與半徑；在度規為 ds^2 = R^2 (dtheta^2 + sin^2(theta) dphi^2) 的球面上，它給出大圓距離。極小化這個長度的曲線——一個空間所允許的最直的路徑——就是測地線，那正是後續指南的去向。
升降指標
現在度規亮出它的第二項職責，正是這項讓指標體操成為可能。因為 g_ij 在它兩個槽位裡各吃一個向量，你可以只餵給它一個向量、把另一個槽位空著——出來的，是一個餘向量。用分量寫，降指標讀作 V_i = 對 j 求和 g_ij V^j：度規把一個樓上的指標拽到樓下。這不是改名；它是把一個逆變對象真正轉換成度規認定它應當與之配對的那個協變夥伴。在 g = [1, 0; 0, 1] 的平坦紙面上，兩者在數值上看起來一模一樣，這恰恰是為什麼第一年的向量微積分從不必區分它們。在彎曲空間裡它們就不同了，而這區別要緊。
要反著來——升一個指標，把樓下的指標拽上去——你需要度規的逆，用樓上的指標寫作 g^ij，由 對 j 求和 g^ij g_jk = delta^i_k（恆等，即克羅內克符號）所定義。於是升指標讀作 V^i = 對 j 求和 g^ij V_j。用 g 降、用它的逆升，是精確的互逆操作，所以接連做這兩步會把你送回出發點。這就是那套讓你總能用一個上指標去縮併一個下指標的記帳法：每當你想求和的兩個指標都在樓上、或都在樓下，你就塞進一個度規去翻轉其中之一，合法的配對便恢復了。
RAISE and LOWER with the metric g, on the polar plane
( coordinates (r, theta), g_ij = [ 1, 0 ; 0, r^2 ] )
metric (lower a vector, give back a covector):
g_ij = [ 1 0 ] g^ij = [ 1 0 ]
[ 0 r^2 ] inverse [ 0 1/r^2 ]
start with a vector V^i = ( V^r , V^theta ) (upstairs)
LOWER: V_i = sum_j g_ij V^j
V_r = 1 * V^r = V^r
V_theta = r^2 * V^theta = r^2 V^theta <- NOT equal to V^theta !
RAISE it back: V^i = sum_j g^ij V_j
V^r = 1 * V_r = V^r
V^theta = 1/r^2 * V_theta = 1/r^2 * (r^2 V^theta) = V^theta (round trip)
squared length is the SAME number either way:
|V|^2 = g_ij V^i V^j = V_i V^i = (V^r)^2 + r^2 (V^theta)^2誠實的附則，以及這通向何方
對乾淨敘述略過的幾件事要誠實。其一，分量 g_ij 是位置的函數，不是常數——球面上赤道處的度規與極點附近的度規並不相同，而這變化正是下一份指南需要克里斯托費爾符號與協變導數來如實地對張量求導的全部緣由。其二，「對稱且可逆」在悄悄出力：度規必須處處非退化，否則長度坍塌。其三，在相對論裡度規不是正定的——它帶有像 (-, +, +, +) 這樣的號差，所以「長度平方」可以是負的或零，而這恰恰把時間與空間分開，並讓光沿零長度的路徑行進。
- 確定你的對象吃什麼——向量、餘向量，還是兩者都吃——以及各吃幾個；這就定下了它的型 (p, q) 以及指標坐落何處。
- 核查它確實是張量：確認它的分量服從變換律——每個上指標一個雅可比，每個下指標一個逆雅可比。
- 請出度規 g_ij 來度量長度與夾角，並在你需要讓一個上指標與一個下指標配對時，用 g_ij 與它的逆 g^ij 來降與升指標。
- 把結果當作一句無關座標的陳述去讀：任何靠完全縮併指標（每個上都與一個下配對）造出的量，都是一個真正的標量，在每套標架裡都一樣。
攥住本指南的三座獎杯。張量是一台對座標視而不見的多重線性機器，釘住它的不是那堆數字的陣列，而是這些數字所服從的變換律——樓上指標用雅可比，樓下指標用逆雅可比，如此排布，使得一個上與一個下縮併時永遠產出一個無關座標的數。度規張量 g_ij 是那個特殊的對稱 (0, 2) 張量，它補上了缺失的尺子：它通過 ds^2 度量長度與夾角，並通過自身與它的逆來升降指標。它仍然做不到的，是求導。一個張量分量的樸素偏導數本身並不是張量，因為當你移動時基底正在你腳下轉動——而修補這一點，正是協變導數及其揭示的曲率的職責，是直通廣義相對論的那條路。