為什麼粗體字母的記法走不遠
歡迎來到張量分析的第一級。前面關於向量場、梯度、散度與旋度的幾篇嚮導，給了你一台強大的機器——但那裡每一條公式都悄悄假設了平直、方正的笛卡爾座標。一旦地面彎曲，或你換成極座標、球座標，那些整潔的公式便長出額外的項，而粗體箭頭記法 v 也不再告訴你所需要知道的事。本級的承諾是在彎曲曲面上、乃至彎曲時空中做微積分；要兌現這個承諾，你首先需要一種誠實到能經受座標變換的記法。那就是[[calc-index-notation|指標記法]]。
其想法是：不再把向量的內部藏進單獨一個粗體字母，而是把它的分量大聲地命名出來。不寫 v，而寫 v^i，意思是「第 i 個分量」，其中 i 取遍 1, 2, ..., n。矩陣變成 A^i_j；更精巧的對象只是長出更多指標，如 T^{ij}_k。於是張量分析的整門手藝，便是按幾條嚴格規則推動這些帶指標的符號——而一旦這些規則在你手中，彎曲空間的代數幾乎變成機械操作，這恰是當幾何本身已經很難時你所盼望的那份輕鬆。
在樓上與在樓下：逆變與協變
為什麼指標的位置很重要——為什麼 v^i（指標在上）與 v_i（指標在下）是不同的物種？因為給向量附上數，確實有兩種自然方式，在斜的或彎曲的標架中它們並不一致。[[contravariant-and-covariant-components|上指標]]標記逆變分量：你要疊多少個各基箭頭才能拼出該向量——這是配位移、速度、普通箭頭的讀數。下指標標記協變分量：向量投到各基方向上的垂直影子——這是配梯度、配等值面的讀數。這些名字聽來神秘，描述的卻很樸素：在座標變換下，這兩類數朝相反的方向移動。
下面這個心象能把「逆」字釘牢。設你把尺縮小——把每個基向量的長度減半。世界中的箭頭並未改變，可要描述它，你如今需要兩倍多的基單位，於是逆變分量翻倍。分量與基反向而動：基縮小，數變大。這就是逆變。而像梯度這樣的協變量則相反——它的下指標分量與基同向縮放，故稱「協」。回想第一卷：梯度的各項是偏導數 df/dx^i；偏導數把它的座標帶在下方，這正是梯度天生帶一個下指標、活在協變之中的深層緣由。
在普通的正交歸一笛卡爾標架中，兩類數恰好重合——v^i 與 v_i 持有相同的值——這正是你最初的課程從不費心區分它們的原因，也難怪你會以為上下不過是裝飾。它們不是裝飾。一旦基非正交歸一或隨位置而變（極座標、球座標、一張彎曲曲面），兩種讀數便分道揚鑣，把它們混淆就會給出錯誤公式。在上與下之間翻譯的詞典是[[metric-tensor|度規張量]] g_{ij}，而升降指標的操作 v_i = g_{ij} v^j，是下一篇嚮導的事；眼下只需記住：上與下是同一支箭頭的兩副面孔。
愛因斯坦的一行規則
現在輪到核心。物理裡滿是長得一模一樣的求和。點積是 u1 v1 + u2 v2 + u3 v3。矩陣乘向量的分量是對 k 求和的 A(i,k) 乘 x(k)。進入四維與彎曲空間，這些求和號便層出不窮，把頁面塞滿。[[einstein-summation-convention|愛因斯坦求和約定]]是一條記帳規則，讓你幾乎能抹去每一個 sigma。據說愛因斯坦曾打趣，說自己藉此對數學作出了最大的貢獻——而這玩笑只說對了一半，因為這條規則真的在做事。
規則恰恰是這樣：只要某個指標在同一項中出現兩次——一次在上、一次在下——就自動對它在其整個取值範圍內求和，無需寫出 sigma。於是 a^i b_i 暗中表示 a^1 b_1 + a^2 b_2 + ... + a^n b_n。像這樣被求和掉的重複指標稱為啞指標（或求和指標），它的名字根本無關緊要：a^i b_i 與 a^k b_k 表示的是同一個數，所以你可以自由地給啞指標改名以避免衝突。在一項中只出現一次的指標是自由指標；它標明你指的是哪個分量，且必須在每一項、方程兩邊都以相同的上下位置出現。
READING AN INDEXED EXPRESSION
a^i b_i ( n = 3 ) -> a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 ( one hidden sum )
i is a DUMMY index : up once, down once, summed, name irrelevant
a^i b_i = a^k b_k = a^m b_m ( all the same number )
In c^i = A^i_j x^j :
j appears up-and-down -> DUMMY (summed: matrix times vector)
i appears once each side -> FREE (labels the 3 components of c)
ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j -> TWO dummy pairs (i and j)
a double sum: 9 terms in 3-D, written as 4 symbols
INDEX-BALANCE CHECK (do this on every line):
free indices on the LEFT must match free indices on the RIGHT,
same names, same up/down slots. If they don't, you slipped.兩個黏合符號：delta 與 epsilon
兩個特殊符號把上面的規則變成一套能用的代數。第一個是克羅內克 delta，delta^i_j，定義為 i = j 時取 1、否則取 0——它不過是帶上指標的單位矩陣 [1, 0; 0, 1]。它的活兒是改名與縮併：在像 delta^i_j v^j 這樣的求和裡，delta 只有當 j 等於 i 時才非零，於是整個求和塌縮成 v^i。換言之，delta^i_j 像一個「替換算子」，專門追捕一個啞指標並把它替換掉。每當計算裡冒出一個纏進求和的克羅內克 delta，你通常能當場化簡，讓它吞掉一個啞指標。
第二個是列維-奇維塔符號 epsilon_{ijk}，對 (1, 2, 3) 的偶置換取 +1，奇置換取 -1，任意兩個指標相等時取 0。這個小小的反對稱對象，正是編碼叉積與行列式的那一個。你在本卷前面遇到的叉積 nabla cross F，寫成分量便是 c^i = epsilon^{ijk} a_j b_k——留意指標平衡：i 是唯一的自由指標，標記輸出的三個分量，而 j 與 k 各是被求和掉的啞指標對。3 乘 3 矩陣的行列式同樣是單個 epsilon 縮併。於是這兩個符號之間便囊括了恆等、互換、旋轉與定向——線性代數的全部詞彙，打包進 delta 與 epsilon。
縮併、自由指標，以及它換來什麼
整套記法裡最重要的一步動作是縮併：把一個上指標與一個同名的下指標配對並求和，如 v^i w_i。這不是閒置的簡寫——它恰是構造與座標無關的量的那個操作。因為上指標按座標變換的雅可比變換、下指標按逆雅可比變換，這兩個變換因子互為逆元；把它們縮併，兩個因子恰好相消，存活下來的是一個真正的幾何標量，每個觀察者、在每個標架中都一致認同。點積 v^i w_i 是最乾淨的例子：一個數，與標架無關，從單次縮併裡誕生。
這也是這套記法作為張量語言而立功之處。一個真正的[[tensor-transformation-law|張量方程]]，是寫成「張量 = 張量」、兩邊自由指標相同且處於相同上下位置的方程。變換律於是保證一件了不起的事：這樣的方程若在一個座標系成立，便同時在每個座標系成立——單次推導一舉確立一條在所有標架中都成立的自然律。這就是廣義協變原理，也是相對論、連續介質力學與電磁學全都這樣書寫的緣由。但有一處界限要誠實：帶有指標並不使一個對象成為張量。你很快會遇到的聯絡係數（克里斯托費爾符號）帶有指標，卻不滿足變換律，這正是為什麼張量的偏導數本身不是張量、協變導數不得不被發明出來。
- 把每個分量都寫成帶名字的指標，上指標配逆變槽（箭頭，v^i），下指標配協變槽（梯度，w_i）。位置是資訊，不是裝飾。
- 找出啞指標對——每個一上一下出現一次的指標——並按愛因斯坦約定把它們讀作隱藏的求和；給任何會衝突的啞指標改名。
- 做指標平衡校驗：左右兩邊的自由指標必須在名字與上下位置上一致。不匹配，或任何指標出現三次，都意味著出錯——繼續之前先改正。
- 用 delta 來替換與化簡，用 epsilon 來處理叉積與行列式，每當你想要一個所有座標系都認同的量時，就把一個上指標與一個下指標縮併。