三個方程，一個拉普拉斯算子，三種脾性
在上一篇裡，你學會了把一個二階偏微分方程歸入三個盒子之一——拋物型、雙曲型或橢圓型——辦法是看一個判別式的符號，正像圓錐曲線的判別式區分拋物線、雙曲線與橢圓那樣。那次分類並不是為分類而分類的記帳。每個盒子都有一個乾淨的代表，一個範式方程，盒子裡其餘每個方程的行為都像它；而這三個代表正是本階梯的主題。把它們認認真真地認識一遍，偏微分方程理論的其餘部分就成了三個主題的變奏。
先抓住一個令人吃驚的統一性：這三個方程都由同一個空間算子搭起來，那就是拉普拉斯算子 nabla^2 u，它在一維裡無非是 d^2u/dx^2，在一般情形裡是各不混合的二階偏導數之和，d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 + d^2u/dz^2。拉普拉斯算子量度的是一個點上的取值比它緊鄰鄰居的平均值低了多少——它就是曲率，推廣到了許多方向上。把這三個方程區分開來的，根本不是空間部分。這完全是一個關於左邊、關於時間的問題：一個時間導數、兩個時間導數，還是一個也沒有。
THE THREE MODEL EQUATIONS (u = u(x, t) or u = u(x, y))
HEAT / diffusion (parabolic) du/dt = k * nabla^2 u
WAVE (hyperbolic) d^2u/dt^2 = c^2 * nabla^2 u
LAPLACE (elliptic) nabla^2 u = 0
POISSON (elliptic) nabla^2 u = f (= source)
Same Laplacian on the right. The TIME side decides everything:
one d/dt -> smoothing, irreversible, settles forever (heat)
two d^2/dt^2 -> oscillation, reversible, travels at speed c (wave)
none -> the steady, settled state itself (Laplace)熱：抹平、遺忘、單向的時間
熱方程 du/dt = k nabla^2 u 用大白話說就是：一個點的溫度在時間裡上升的速度，恰好正比於它比鄰居的平均溫度低了多少。這就是右邊的拉普拉斯算子，把它讀作一支度量局部失衡的溫度計。在你比周遭更冷的地方（拉普拉斯算子為正），你會變暖；在你是一根灼熱尖峰的地方（拉普拉斯算子為負），你會變涼。淨效果是無情的取平均：鼓包被抹平、凹陷被填滿，任何尖銳的特徵都被塗抹開去。把墨水滴進靜水裡，或把一根金屬棒的一端湊近火焰——同一個方程，其中 k 是擴散係數，支配著擾動如何鋪展。
因為只有一個時間導數，方程只需要時間上的一張快照就能啟動：那就是初始條件 u(x, 0)，起始時刻處處的溫度。這與第一卷裡一階常微分方程的邏輯如出一轍，那裡 dy/dt = f 只需要一個起始值 y(0)——時間上一個導數，時間上一個初始數據。你不會、也絕不可以再去指定 t = 0 處的 du/dt；方程本身會從空間形狀替你把它算出來。再配上空間中的邊界條件（棒的兩端在所有時間裡都在做什麼），未來就被完全確定下來了。
波：振盪、記憶、雙向的時間
波動方程 d^2u/dt^2 = c^2 nabla^2 u 看起來幾乎一模一樣，但那唯一的改動——左邊換成二階時間導數——把脾性整個翻了過來。把它讀作一根繃緊的弦上的牛頓定律：d^2u/dt^2 是位置 x 處那一小段弦的加速度，而右邊的拉普拉斯算子是回復力，因為一小段坐落在鄰居平均值之下的弦，會被張力往上拽。朝平均值加速、而不是朝平均值有速度，這才是產生振盪而非衰減的配方——這正是「有阻尼地滑向靜止」與「彈簧上的質量過衝後又盪回來」之間的區別。位移並不會攤平；它來回晃盪，其中 c 是波速。
兩個時間導數意味著兩個初始條件，這下子類比的是像彈簧上質量那樣的二階常微分方程，它既要一個初始位置又要一個初始速度。對這根弦，你必須給出 u(x, 0)，即初始形狀（你怎麼撥的它），還要給出 du/dt(x, 0)，即初始速度（你撥它時是否還讓它帶著運動）。只給形狀，未來就當真無法確定——一根吉他弦被撥動後鬆手，與同樣形狀被橫向一彈送出去，二者的行為並不相同。兩份資料在物理上都是真實的，在數學上也都是必需的。
還有兩處與熱更深的對照值得點名。第一，波動方程是可逆的：把 t 換成 -t 它不變（二階導數察覺不到這個符號翻轉），所以一段振動弦的影片倒著放看起來同樣合乎物理——沒有時間之箭，也沒有細節的塗抹消失。第二，訊號以有限的速度 c 傳播。某處的擾動在一列波真正抵達之前，別處是感覺不到的；在無窮長的直線上，這一點被達朗貝爾解精確地刻畫出來，它把任意初始形狀劈成兩份副本，以速度 c 分別向左、向右滑走。相比之下，熱在技術上是處處瞬時響應的（這是理想化模型的一個缺陷，因為真實的擴散其實也有速度上限）。
拉普拉斯與泊松：沒有時鐘的方程
現在把時鐘整個關掉。等得足夠久，一塊被加熱的平板就不再變化了——每一點都達到了它鄰居的平均值，於是拉普拉斯算子處處為零，du/dt 也死去了。剩下來的就是拉普拉斯方程 nabla^2 u = 0，穩態的方程：邊緣被固定住的平板那最終安頓下來的溫度、繃在一個金屬絲環上的肥皂膜的形狀、無電荷區域裡的靜電勢。它的解被稱為調和函數，並且有一條優美的定義性質——均值性質：任一點的取值，等於以它為心的任意圓（或球）上諸值的平均。調和函數實實在在就是一個自身不帶任何鼓包的函數；它平到了邊界所允許的極限。
當穩態是被一個永不關閉的源所驅動時——平板內部一根長燒不停的導線、坐在該區域裡的一個電荷——右邊就不再是零了，於是你得到泊松方程 nabla^2 u = f，其中 f 記錄著每一點上的源強度。拉普拉斯不過是把源關掉（f = 0）的泊松。在靜電學裡這是主方程：nabla^2（電勢）= -（電荷密度）/（介電常數），它說的是：電荷正是那些把一片本會平坦的電勢地貌按下去、頂起來的凹坑與尖峰。
既然沒有時間變量，就沒有任何「初始」的東西——你無法為一個描述「已經不再變化之物」的方程給出一個起始時刻。取而代之，這些方程活在一個封閉區域上，只索要它整條邊界上的資料：這是一個純粹的邊值問題。把溫度沿平板邊沿一圈全部釘死，內部隨之就被完全且唯一地確定。極值原理把這一點說得活靈活現：一個調和函數只在邊界上取到它最熱與最冷的值，絕不會嚴格地在內部取到——穩態的平板內部沒有任何一處熱點是邊緣不曾安放的。這正是為什麼單單固定邊界就足以固定其內部的一切。
每一個方程有資格索要什麼資料
把這個格局收攏起來，因為它是本階梯裡最有用的一條規則：時間導數的個數告訴你要給幾個初始條件，而空間邊界則總是需要沿其邊沿一整圈、在所有時間上都給條件。熱（一個 d/dt）要一份初始分佈；波（兩個 d^2/dt^2）要兩份——形狀和速度；拉普拉斯與泊松（沒有時間）什麼初始資料也不要，只要完整的邊界。把數目對準。條件太少，答案就釘不死；條件太多，你就過度約束了一個物理上說本已確定的系統，而通常這時根本不存在任何解。
邊界條件本身有三種風味，由物理來挑選用哪一種。狄利克雷條件固定邊界上的值——棒的兩端被維持在 0 度、膜被夾在一個框上。諾伊曼條件固定通量，即法向導數 du/dn——一個不漏熱的絕熱端（du/dn = 0），或一道自由、無所係縛的邊。羅賓條件把這兩者摻起來，比如一個表面以正比於自身溫度的速率向空氣輻射熱量時。你用哪種風味，是由那條邊界上世界正在做什麼所決定的，而不是由數學口味決定的。
- 給方程分類：數它的時間導數（零個、一個還是兩個）——這就是上一篇裡拋物型／雙曲型／橢圓型的判定。
- 在 t = 0 處給出相應數目的初始條件：拉普拉斯／泊松零個，熱一個（u），波兩個（u 與 du/dt）。
- 沿空間區域的邊界一整圈、在所有時間上指定一個邊界條件——狄利克雷（值）、諾伊曼（通量）或羅賓（兩者的混合），由每條邊的物理來挑選。
- 檢查它是否適定：解應當存在、唯一，並且連續地依賴於資料——恰到好處的資訊量，不多也不少。
適定性，以及從這裡出發的路
把這一切繫在一起的詞是適定性，出自阿達馬，它有三個苛刻的部分。一個問題若滿足以下三條，就是一個適定問題：（1）解存在，（2）解唯一，（3）解連續地依賴於資料，從而初值或邊值裡一個微小的抖動只會讓答案產生一個微小的抖動。正確的邊界與初始資料——按上面那條計數規則與方程的類型相匹配——恰恰就是為你換來這三條的東西。錯誤的資料會破壞其中之一，而這種破壞不是單純的麻煩；它通常意味著你把物理建錯了模。
你現在手裡有了這套角色，以及支配它們選角的規則。你還沒有的，是一個真正去求解它們當中任何一個的辦法——而那正是接下來幾篇的主題，分離變量法將在那裡登場。那裡的方案很優雅：猜想解能分解成一個空間的函數乘以一個時間的函數，眼看著單個偏微分方程裂成兩個你在第一卷裡早已會處理的常微分方程，然後把諸解疊加成一個級數——其實就是傅立葉級數——以此重建出完整的答案。這也正是為什麼上一階梯先講了傅立葉級數。要提醒的是，分離變量法並非萬能求解器；它只在特殊的、對稱的幾何形狀上、配合好打交道的邊界條件時才奏效。但對我們這三個範式方程而言，無論是在一根棒、一個矩形還是一個圓盤上，它都是那把萬能鑰匙，而你現在已經準備好去轉動它了。