什麼是偏微分方程，及其三種類型

從一個自變量到多個自變量

你到目前為止解過的每一個微分方程，都只有一個自變量——通常是時間 t 或位置 x——而未知量是那一個東西的函數，y(t) 或 y(x)。整個上一級都住在那裡。但真實世界很少配合得這麼整齊。金屬棒裡的溫度不只是你所在位置的函數；它是位置和時刻共同的函數，u(x, t)。鼓面的位移依賴於兩個空間坐標和時間，u(x, y, t)。一旦未知量依賴於不止一個自變量，它的導數就分裂成偏導數——固定 t 求 du/dx，固定 x 求 du/dt——而一個把它們關聯起來的方程，就是偏微分方程，簡稱 PDE。

這絕不是一小步；它徹底改變了遊戲的性質。當你解一個常微分方程時，通解攜帶幾個任意常數，而少數幾個初始條件就把它們釘死。偏微分方程的通解則攜帶任意函數，而要從中挑出唯一的答案，需要整條曲線或整張曲面的數據——起始時刻整根棒上的溫度分布、一塊板四周邊緣上始終保持的取值。判定哪些數據使問題適定，這套記賬確實更難，而我們馬上要定義的方程類型，正是決定哪些數據被允許的東西。

階與線性：讀出偏微分方程的指紋

在分類之前，先學會讀出任何偏微分方程的兩個基本特徵——它的階與線性。階就是出現的最高階導數，與常微分方程完全一樣。熱方程 du/dt = k d^2u/dx^2 是二階的，正因為那個 d^2u/dx^2；波方程 d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2 也是，拉普拉斯方程 d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 也是。這並非偶然：物理交給我們的偏微分方程絕大多數都是二階的，因為自然定律大多是用「一個變化率本身變化得多快」來書寫的——加速度與曲率，它們都是二階導數。

線性是讓整門學問可解的那個性質。一個偏微分方程是線性的，是指未知量 u 及其所有導數都只以一次冪出現，彼此從不相乘，也從不被裹進正弦或平方裡。上面三個方程全都通過：u 及其導數都明明白白地待在那裡，各為一次冪。回報恰恰是你在解線性常微分方程時倚仗過的疊加原理——若 u_1 與 u_2 都滿足一個線性齊次偏微分方程，那麼任何組合 c_1 u_1 + c_2 u_2 也滿足。這就是把一個複雜解由簡單解相加搭起來的許可證，也是分離變量法的根基，而本級正是為教這個方法而設。對照一下 u du/dx 這樣的項（流體流動中的一項）：u 乘以它自己的導數是非線性的，疊加隨之死去，激波與湍流便成為可能。

判別式：一個數把一切分類

現在是核心動作。把兩個變量的一般二階線性偏微分方程寫成它的標準形狀：A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0，其中 u_xx 表示 d^2u/dx^2，u_xy 表示混合的 d^2u/dx dy，而 A、B、C 是那些二階導數項的係數——也就是最高階部分，它主導著解的行為方式。把其餘一切都剝掉，只留這三個數，組成一個單一的組合，即判別式 B^2 - AC。這一個數，僅由那些主項係數算出，正是二階線性偏微分方程的分類完全所繫之處。

Standard form:   A u_xx + 2B u_xy + C u_yy + (lower order) = 0
Discriminant:    D = B^2 - AC      (built from the leading coefficients only)

  D < 0   ELLIPTIC     equilibrium / steady state   e.g. Laplace  u_xx + u_yy = 0
  D = 0   PARABOLIC    diffusion / smoothing         e.g. heat     u_t = k u_xx
  D > 0   HYPERBOLIC   waves / signals at finite speed e.g. wave    u_tt = c^2 u_xx

Laplace:  A=1, B=0, C=1  ->  D = 0 - 1 = -1  < 0   elliptic
Heat:     A=k, B=0, C=0  ->  D = 0 - 0 =  0  = 0   parabolic   (here y plays the role of t)
Wave:     A=c^2,B=0,C=-1 ->  D = 0 - (-c^2) = c^2 > 0 hyperbolic (here y plays the role of t)

一行判據：從最高階導數項讀出 A、B、C，算出 B^2 - AC，符號即定類型。三個模型方程——拉普拉斯、熱、波——正是這三類各自的典範代表。

三大方程的三種性格

這個標籤不是歸檔的約定俗成——它是關於解將如何存活的一則預言。[[elliptic-equation|橢圓型]]方程，其原型是拉普拉斯方程 d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0，描述一個處於平衡、完全沒有時間的系統：搭在一圈彎曲鐵絲上靜止的肥皂膜、邊緣被固定的板的穩態溫度、靜電勢。在邊界任意一處擾動它，整個內部都會瞬間感覺到。它的解極其光滑（在內部無窮可微），並且服從一條極值原理——最熱與最冷的點都坐落在邊界上，絕不在平靜的內部。

[[parabolic-equation|拋物型]]方程，其原型是熱方程 du/dt = k d^2u/dx^2，描述時間中不可逆的抹平。讓一根棒以一道尖銳的熱脈衝起步，然後看著：尖峰瞬間塌成一個圓鼓包，繼而攤平、擴散，永遠地朝著均勻的溫熱模糊而去。兩個誠實的特徵標記著這一類型。其一，它猛烈地抹平——哪怕是帶稜帶角、參差不齊的初始分布，下一刻就變得完美光滑。其二，它不可逆：把時鐘倒撥，方程便劇烈地不穩定，這正是「你無法把奶油從咖啡裡攪回去」這一樸素事實背後的數學。資訊漏走，無法找回。

[[hyperbolic-equation|雙曲型]]方程，其原型是波方程 d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2，描述以有限速度 c 傳播的信號，它的行為與另外兩類全然不同。它不抹平——被撥弦上一道尖銳的折角始終保持尖銳，只是單純地行進，一個稜角沿著弦毫不減損地騎行而過。它可逆——把一段振動拍下來倒著放，它依然滿足這個方程。而且它有一道嚴格的速度上限：某一點處的擾動，要等到時間足夠長、讓波抵達之後，遠處的某一點才能感覺到。這種有限的傳播速度（橢圓型與拋物型至少在形式上都以無窮快的速度散布影響），正是雙曲型的標誌，也正因如此，它是光、聲與信號的方程。

誠實的小字條款，以及前方的路

幾句誠實話，能防止這變成一句被你誤用的口號。那個乾淨的三分，恰恰是針對兩個自變量的二階線性方程；判別式判據是兩變量的情形。變量更多時，主項是一個二次型，其係數矩陣帶有一個符號差，你便按它特徵值的正負號來分類——全都同號時為橢圓型，有一個異號時為雙曲型，退化的臨界情形為拋物型——但精神完全一致。而且類型可以因地而異：一個方程可以在某區域是橢圓型、在另一區域是雙曲型（跨聲速氣流便以在聲速處切換而聞名），所有有趣的物理都恰恰活在二者之間的邊界上。

數一數自變量的個數，找出最高階導數——這告訴你它是一個偏微分方程，並給出它的階（對這裡的物理而言幾乎總是二階）。
檢查線性：u 及其導數是否都只以一次冪出現、從不彼此相乘？若是，疊加便可用，本級的方法便適用。
從二階導數項讀出 A、B、C，算出判別式 B^2 - AC；它的符號即定類型——橢圓型（< 0）、拋物型（= 0）或雙曲型（> 0）。
用類型來預期正確的行為、提供正確的數據：帶封閉邊界的平衡（橢圓型）、從初始狀態出發的抹平（拋物型），或從初始狀態出發的有限速度信號（雙曲型）。

這就是本級整片地形的概貌。你現在能看著一個陌生的偏微分方程，叫出它的階、檢驗它的線性、算一個判別式，並大致預言它的解將如何存活、什麼數據會把它們釘死。後面幾篇指南將逐個拿起那三個模型方程並真正去解它們——用分離變量法，它把每個偏微分方程化為一族你早已掌握的常微分方程，而它之所以管用，恰恰因為這些方程是線性的。你剛學到的分類是地圖；分離變量法則是帶你穿越這張地圖的車。