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求特解

齊次問題已經解決——現在驅動項來了，你只需要一個能回應它的解。三件工具來完成這件事：當驅動項很「乖」時聰明地去猜，當它不乖時一路積分出答案，再從你已有的一個解裡擠出那個缺失的第二解。

齊次部分之後，還剩什麼

前面幾篇指南攻下了齊次方程——右端為零的那種，像 y'' + a y' + b y = 0。你建起它的特徵方程，讀出根，再拼出一個基本解組 y_1、y_2，它們的組合 C_1 y_1 + C_2 y_2 掃遍每一個解。這個組合就是齊次解 y_c。但真實問題很少在右端保持沉默：彈簧被推，電路被驅動，梁被加載。方程變成 y'' + a y' + b y = g(x)，帶著一個真正的驅動項 g(x)，單憑 y_c 已經滿足不了它。

下面這個結構性事實，讓本指南餘下的一切成為可能——它正是線性的饋贈。把方程寫成 L[y] = g，其中 L 是線性微分算子 L = d^2/dx^2 + a d/dx + b。假設你能找到僅僅一個被 L 送到 g 的函數 y_p，即 L[y_p] = g。那麼這個受迫方程的通解恰恰是 y = y_c + y_p：整族齊次解，被那單獨一個特解整體平移過去。一行就能驗證——L[y_c + y_p] = L[y_c] + L[y_p] = 0 + g = g——你便看見線性在替你幹活。

待定係數法：一次有根據的猜測

當驅動項 g(x) 屬於一小串格外乖巧的形狀之一——多項式、指數 e^{r x}、正弦或餘弦，或它們的乘積——待定係數法幾乎是白送給你一個 y_p。這個想法極其直白：這些函數在求導下會再生出同類。對多項式求導，得到多項式；對 e^{r x} 求導，得到 e^{r x} 的倍數；對 sin 和 cos 求導，永遠只在 sin 與 cos 之間來回倒換。所以特解必定住在與驅動項相同的那個小家族裡——你猜一份帶未知係數的 g(x) 副本，再讓方程告訴你這些係數是多少。

用 y'' - y' - 2y = 4x^2 來具體想象。驅動項是一個二次多項式，所以猜上完整的二次多項式 y_p = A x^2 + B x + C——絕不只猜 A x^2，因為求導會溢出到你必須準備好去匹配的低次項。求兩次導、代入、歸併：左邊得到 -2A x^2 + (-2A - 2B) x + (2A - B - 2C)，它必須等於 4x^2 + 0x + 0。逐一匹配 x 的各次冪，得到三個樸素的代數方程，於是 A = -2、B = 2、C = -3 滾落出來，故 y_p = -2x^2 + 2x - 3。這道微積分問題已經化成了求解一個小小的線性方程組——這正是該方法全部的魅力所在。

參數變易法：永遠管用

待定係數法快，但脆弱：它只對那一小串菜單上的驅動項管用。要是 g(x) = tan(x)、sec(x)，或任何不在單子上的東西呢？那就請出參數變易法，一種除了「你能積分」之外對 g 一無所求的方法，因而能對付任何驅動項。它的想法是一記小小的神來之筆。齊次解是 C_1 y_1 + C_2 y_2，其中 C_1、C_2 是常數。參數變易法說：讓那些常數變起來。去找 y_p = u_1(x) y_1 + u_2(x) y_2，把那兩個數提升成兩個未知函數，恰到好處地彎折齊次解，好把驅動項吸收掉。

兩個未知函數需要兩個條件。一個是方程本身；另一個我們可以自行選擇，而一個聰明的選擇能讓代數保持乾淨：要求 u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0，這在那些雜亂的二階導數項冒頭之前就把它們殺掉。有了它，方程塌縮成 u_1' y_1' + u_2' y_2' = g。現在你有了關於兩個未知導數 u_1' 和 u_2' 的兩個線性方程，而它們的行列式恰恰是朗斯基行列式 W = y_1 y_2' - y_2 y_1'——正是這同一個量，因其非零，當初才認證了 y_1 與 y_2 的線性無關。解出來，再積分，y_p 就歸你了。

Given  y'' + a y' + b y = g(x),  with homogeneous basis y_1, y_2:

  Wronskian   W = y_1 y_2' - y_2 y_1'      (nonzero since y_1, y_2 independent)

  u_1' = - y_2 g / W        u_2' = + y_1 g / W

  u_1 = INTEGRAL( - y_2 g / W ) dx     u_2 = INTEGRAL( + y_1 g / W ) dx

  particular solution:   y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

Example  y'' + y = sec(x):  y_1=cos x, y_2=sin x, W=1
  u_1 = INTEGRAL(-sin x sec x)dx = ln|cos x|,   u_2 = INTEGRAL(cos x sec x)dx = x
  y_p = cos(x) ln|cos x| + x sin(x)        (undetermined coefficients cannot touch sec x)
參數變易法的配方：朗斯基行列式坐在每個分母裡，而那兩個積分是該方法唯一可能卡住的地方——不是原理上卡住，而是因為積分本身可能是非初等的。

對這裡「永遠管用」是什麼意思，要誠實。這個方法永遠能產出正確的那兩個積分——這一步從不失敗。但那些積分本身可能是非初等的，意思是不存在用初等函數寫出的公式，正如 e^{-x^2} 的高斯積分沒有初等原函數。「非初等」並不意味著不可計算：你仍可以把答案誠實地留作一個積分，或數值地算到任意精度。參數變易法永遠把問題歸結為積分；那個積分漂不漂亮，是另一個問題，而且答案並不總是友善的。

降階法：一個解生出兩個

上面兩種方法都悄悄假定你已經握有完整的齊次基 y_1、y_2。對常係數方程，特徵方程把兩個都交給你。但對變係數方程——a 和 b 依賴 x——根本沒有特徵方程，而你往往只能靠觀察或運氣找到一個齊次解。降階法正是把那單獨一個 y_1 變成一整對的工具。它的前提是同一招變形術：把第二個解找成 y_2 = v(x) y_1，即已知解乘上一個未知函數 v。

把 y_2 = v y_1 代入齊次方程，看魔術上演。因為 y_1 本來就滿足方程，所有帶 v（未求導）的項恰好相消——這個相消正是 y_1 必須是一個已知解的原因。倖存下來的項只含 v' 和 v''，從不含 v 本身。令 w = v'，一個關於 v 的二階方程就變成關於 w 的一階方程——階數真真切切地降了一階，方法之名即由此而來。解這個一階方程（一個可分離或線性的方程），把 w 積分得到 v，於是 y_2 = v y_1 就是你那個獨立的第二解。

一個鮮活的例子：x^2 y'' - x y' + y = 0（一個歐拉方程）有顯而易見的解 y_1 = x。令 y_2 = v x；代入並經 w = v' 的替換，留下 x w' + w = 0，一個可分離的一階方程，給出 w = 1/x，於是 v = ln(x)，第二解便是 y_2 = x ln(x)。這兩者，x 與 x ln(x)，是獨立的——它們的朗斯基行列式是 x，在 x > 0 時非零——所以它們構成你所需的基。而這同一個 y_2 = v y_1 的想法，若推到受迫方程上而非齊次方程上，恰恰就是喬裝打扮的參數變易法：降階法是它那位只需一個解的祖先。

三者之間如何取捨

這三者不是對手；它們是一棵決策樹，一旦你看清結構，選擇幾乎是機械的。決定性的問題是：我是否已經握有完整的齊次基？驅動項有多乖？按順序問下來，對的工具自己就報到了。

  1. 你兩個齊次解都有嗎？若只有一個——通常是因為係數變化、沒有特徵方程——先用降階法造出第二個。現在你有了完整的基 y_1、y_2，可以往下走了。
  2. 驅動項 g(x) 是多項式、指數、正弦/餘弦，或它們的乘積嗎？若是，待定係數法最快——猜一份帶未知係數的副本，若與齊次解相撞（共振）就乘 x，再匹配。完全不需要積分。
  3. 驅動項是別的什麼嗎——正切、正割、對數、分式？那就用參數變易法這個萬能後備。它要花你兩個由朗斯基行列式搭起的積分，但它從不要求驅動項乖巧，也從不會交不出那個公式。
  4. 最後，組裝。把齊次解加回去：y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_p。直到此刻才套用初始條件去定死 C_1 和 C_2——套在完整的 y 上，絕不只套在 y_c 上。

退一步，留意這份統一。這裡的每一種方法都是同一個手勢——拿起你信得過的齊次解，讓它們的常係數變成 x 的函數，把你已知的東西恰好彎折到能迎上驅動項。這單獨一個想法，即齊次部分與特解部分的疊加，就是線性微分方程的全部架構，而且它毫無怨言地向上推廣：同樣的 y_c + y_p 分拆組織起高階方程，統轄用矩陣指數求解的方程組，並在拉普拉斯變換把整個問題化成代數時再度現身。在這裡把求 y_p 學透，你便掌握了受迫響應——在它將來出現的每一個地方。