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常係數方程

所有線性常微分方程裡最和善的一類：當係數只是常數時，一個猜測就把整道微積分難題變成了普通的代數。解出特徵方程，讀出實根、重根或複根——再認識柯西–歐拉方程，它換了身裝束，玩的是同一個把戲。

為什麼係數是個常數，就能改變一切

上一篇指南搭起了線性常微分方程的一般理論：方程 a_n(x) y^{(n)} + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)，把整個左端打包起來的線性微分算子 L，以及那個承諾——齊次方程 L[y] = 0 的解構成一個基本解組，即 n 個線性無關的積木，它們的組合給出每一個解。那套理論很一般，卻也很抽象；它告訴你答案的*形狀*，卻不把答案遞到你手裡。本篇正是它驟然變得具體的地方，針對的是整個應用數學裡最重要的那個特例：當係數 a_k 都是普通常數、而不是 x 的函數時。

為什麼單單這一條限制就幫了這麼大的忙？因為指數函數有一條你從第一卷起就知道的性質：e^{r x} 的導數是 r e^{r x}，還是同一個函數、只是被 r 縮放了一下。再求一次導得到 r^2 e^{r x}；再一次，r^3 e^{r x}。指數函數是唯一一個在求導下形狀原封不動的函數——每求一次導，只是再乘上一個 r 的因子。於是，若你把 y = e^{r x} 餵進一個常係數算子，每一項都化成（r 的某個冪）乘 e^{r x}，e^{r x} 被提了出來，剩下的便是關於 r 的純代數。微積分蒸發了。這就是全部的主意，本篇餘下的內容不過是把它仔細走一遍。

特徵方程：微積分變成一個多項式

拿來當主力的二階齊次方程 a y'' + b y' + c y = 0。猜 y = e^{r x}。那麼 y' = r e^{r x}，y'' = r^2 e^{r x}，代入得 a r^2 e^{r x} + b r e^{r x} + c e^{r x} = 0。每一項都帶著公因子 e^{r x}，而它永不為零，所以可以把它約去。剩下的是 a r^2 + b r + c = 0——一個關於數 r 的普通二次方程。這就是特徵方程（又叫輔助方程），也是這套方法的核心：一個關於 y 的微分方程，被換成了一個關於 r 的多項式方程，而這個多項式的係數恰恰就是常微分方程的係數。

你可以直接從方程上讀出這條配方，而不必每次重新推導：把 y'' 換成 r^2，y' 換成 r，y 換成 1（也就是 r^0），令結果為零。三階方程 y''' - 6 y'' + 11 y' - 6 y = 0 的特徵方程是 r^3 - 6 r^2 + 11 r - 6 = 0。常微分方程的階變成多項式的次數，所以一個 n 階方程給出一個 n 次多項式，而它——把重數與複根都數進去——恰好有 n 個根。每個根 r 遞給你一個指數解 e^{r x}，上一篇的主定理則保證：n 個這樣的無關片段，拼出完整的通解。

a y'' + b y' + c y = 0          the constant-coefficient ODE
        |   guess y = e^{r x},  y' = r e^{r x},  y'' = r^2 e^{r x}
        v
(a r^2 + b r + c) e^{r x} = 0    every term carries e^{r x}
        |   divide by e^{r x}  (never zero)
        v
   a r^2 + b r + c = 0            the CHARACTERISTIC EQUATION

   rule of thumb:  y''  ->  r^2 ,   y'  ->  r ,   y  ->  1
代入 y = e^{r x} 約去指數，留下一個關於 r 的普通多項式——微積分難題已變成代數難題。

情形一與情形二——實根，先相異後重

最乾淨的情形是特徵多項式的實根全都互不相同。設 y'' - 5 y' + 6 y = 0；特徵方程 r^2 - 5 r + 6 = 0 分解為 (r - 2)(r - 3) = 0，給出 r = 2 與 r = 3。每個根貢獻它自己的指數，通解便是它們的組合 y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}，帶兩個任意常數——恰是二階方程所攜帶的那份自由。e^{2x} 與 e^{3x} 是真正無關的，還是同一個解的喬裝？上一篇的朗斯基行列式給出定論：det([e^{2x}, e^{3x}; 2 e^{2x}, 3 e^{3x}]) = e^{5x} 永不為零，所以二者線性無關，構成一個基本解組。一般地，相異實根 r_1, ..., r_k 給出無關解 e^{r_1 x}, ..., e^{r_k x}，各配常數加起來即可。

現在來了個難處。設特徵方程有一個二重根：y'' - 4 y' + 4 y = 0 給出 r^2 - 4 r + 4 = (r - 2)^2 = 0，所以 r = 2 出現兩次。配方只給出 e^{2x}——然後又給一遍 e^{2x}。可二階方程需要*兩個*無關解，而 e^{2x} 配上另一份 e^{2x}，不過是同一個解被數了兩次；它撐不起完整的解空間。你缺了一塊積木，必須把它找出來。

缺失的那個解是 x e^{2x}——同一個指數乘上 x。你可以用一幅極限圖景看清它為何必然出現：當兩個根 r 與 r + epsilon 幾乎相等時，你手上有一對 e^{r x} 與 e^{(r + epsilon) x}，而組合 (e^{(r + epsilon) x} - e^{r x}) / epsilon 是一個完全合格的第二解。當 epsilon 縮向零，這個差商恰恰是 e^{r x} 關於 r 的導數，也就是 x e^{r x}。那個 x 的因子，是兩根相撞時留下的化石。於是二重根 r 對應的通解是 y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}；對我們的例子，y = (C_1 + C_2 x) e^{2x}。

情形三——複根，與振動的誕生

第三種情形，是物理登場的地方。設 y'' + 2 y' + 5 y = 0；特徵方程 r^2 + 2 r + 5 = 0 的判別式 4 - 20 < 0，所以根是複的：r = -1 + 2i 與 r = -1 - 2i，一對共軛 alpha 加減 i beta，其中 alpha = -1，beta = 2。形式上解仍然是 e^{r x}，但現在指數是個複數，而像 e^{(-1 + 2i) x} 這樣的解你沒法直接畫出來。我們要的是給真實問題用的實值解，而把它們送來的橋樑，是一條恆等式。

那條恆等式是歐拉公式，e^{i theta} = cos(theta) + i sin(theta)——複指數與三角函數之間深刻的紐帶。用上它：e^{(alpha + i beta) x} = e^{alpha x}(cos(beta x) + i sin(beta x))。它的實部與虛部，各自分別是原來那個實方程的一個實解，而且彼此無關。於是這對共軛複根，悄悄遞給你兩塊實積木，e^{alpha x} cos(beta x) 與 e^{alpha x} sin(beta x)，通解便是 y = e^{alpha x}(C_1 cos(beta x) + C_2 sin(beta x))。對我們的例子，y = e^{-x}(C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x))。

把這個解放到物理裡去讀，整門學問就亮了起來。正弦與餘弦是角頻率為 beta 的一段振動；因子 e^{alpha x} 是一道包絡，當 alpha < 0 時把擺幅壓小，alpha > 0 時把它放大。這恰恰是一個阻尼諧振子——帶摩擦的彈簧上的質量、不斷失去能量的擺、被敲響後漸歸寂靜的鐘。根的實部定下衰減，虛部定下音高。當根是純虛數（alpha = 0）時，包絡是平的，你得到無阻尼振動，純粹的 cos 與 sin——後面幾篇指南就在這幅圖景之上，搭起共振與拍。

柯西–歐拉方程：換了裝的同一個把戲

有一個帶*變*係數的方程，仍然幾乎能屈服於同樣的方法，現在就值得認識它，因為它出現得極其頻繁——在極坐標與球坐標下的拉普拉斯方程裡，在帶有天然尺度的問題裡。它就是柯西–歐拉方程，a x^2 y'' + b x y' + c y = 0，憑一個標誌性的樣式即可認出：每一階導數都乘上相稱的 x 的冪——x^2 配 y''，x^1 配 y'，x^0 配 y。正是這種配對讓把戲奏效，因為 x^k 乘上一個 x 的冪的 k 階導數，會把你送回同一次數的冪上。

於是你不再猜指數，而是猜冪：y = x^m。那麼 x y' = m x^m，x^2 y'' = m(m-1) x^m，代入並約去公因子 x^m，剩下 a m(m-1) + b m + c = 0——又是一個多項式，這次是關於 m 的指標方程。三種情形與常係數的那三種絲絲相扣：相異實根 m_1, m_2 給出 x^{m_1} 與 x^{m_2}；重根 m 給出 x^m 與 (ln x) x^m，這裡 ln x 扮演著先前 x 扮演的角色；複共軛對 alpha 加減 i beta 給出 x^alpha cos(beta ln x) 與 x^alpha sin(beta ln x)。那個對數絕非偶然——代換 x = e^t 把柯西–歐拉方程變成關於 t 的常係數方程，而 ln x 不過是 t 回了家。

  1. 辨認形式。確認方程是常係數（a y'' + b y' + c y = 0）還是柯西–歐拉（a x^2 y'' + b x y' + c y = 0）；相稱的 x 冪正是後者的標記。
  2. 做對那個猜測。常係數就試 y = e^{r x}；柯西–歐拉就試 y = x^m。代入、約去公因子、讀出那個多項式——關於 r 的特徵方程，或關於 m 的指標方程。
  3. 把根歸入三種情形。實而相異：直接組合那些裸片段。重數為 m 的重根：分別乘 1, x, ..., x^{m-1}（常係數）或 1, ln x, ..., (ln x)^{m-1}（歐拉情形）。複數 alpha 加減 i beta：借歐拉公式湊出「包絡乘振動」的那對實解。
  4. 組裝並定死。把無關片段各配一個任意常數加起來，得到通解，再施加任何初始或邊界條件來定下那些常數。

你已握有什麼，接下來是什麼

退後一步，看看這有多麼圓滿。對*任何*常係數齊次線性常微分方程，不論幾階，你現在都有一套完工的流程：寫下特徵多項式，求出它的根，再按三情形詞典把每個根翻譯成它的積木。再沒有猜測可言，也沒有積分要做——只剩求根。能對一個微分方程說出這樣的話，是件了不起的事，這也正是常係數方程之所以是本級其餘內容奠基之石的原因。

兩條誠實的提醒，讓一切保持分寸。其一，這一切只解齊次方程 L[y] = 0；當有驅動項 g(x) 在場時——推動振子的一個力、電路裡的一個電壓源——你還需要找一個特解加上去，那是後面指南裡待定係數法與參數變易法的活兒。其二，整座大廈立在求根之上，而四次以上一般沒有求根公式，所以高階方程會把你送向數值求根器；*方法*依舊精確，但算術未必。帶著這些前提，你已掌握微分方程裡最乾淨的那個角落——並且準備好去推動振子，看共振浮現。