JOVANA
Library Glossary Getting Started Three Levels Fields How it works Mission
Join the mission
All guides

可分離變數方程與全微分方程

兩種最能直接積分的一階形式：把變數拉到等號兩邊各自積分，或認出一個偽裝起來的全微分——若它本不是，就乘上一個積分因子，把它變成全微分。

兩類一眼就能積分的方程

上一篇裡，你學會了把任意一階方程 dy/dx = f(x, y) 讀成一片斜率場——它在每一點都給你一個斜率，即使你解不出來，也能把解曲線畫出來。這一篇要講的，是那一小撮你*確實*能解、而且解得乾淨俐落的方程。微分方程是未知函數與其導數之間的一個關係，所以解它歸根結底就是積分，這一點並不意外。這兩種方法的全部技巧，就在於把方程整理成一副「積分正盯著你看」的樣子。

有兩種形狀最友好。第一種是可分離變數的：右邊能拆成「只含 x 的部分」乘「只含 y 的部分」，於是每個變數都能被趕到等號的各自一側。第二種是全微分（恰當）方程：整個方程其實是某個函數 F(x, y) 的全微分，所以它的解就是 F 的一族等值線。它們看起來毫不相干，其實是表親——而一件工具，積分因子，有時能把一個頑固的方程變成其中任意一種。

分離變數：把變數各自趕回家

一個可分離變數方程形如 dy/dx = g(x) h(y)。做法是把 dy/dx 當作真正的微分之比——這個看似耍花招的步驟，其實由鏈式法則悄悄擔保——再整理成 dy / h(y) = g(x) dx。這樣所有帶 y 的都在左邊、所有帶 x 的都在右邊，於是你對兩邊各自獨立積分。那唯一的積分常數（只寫一次）就編碼了整族解；要把它定死，需要一個初始條件。

看最著名的例子 dy/dx = k y——指數增長。分離成 dy/y = k dx，兩邊積分得 ln|y| = k x + C，再取指數得 y = A e^{k x}，其中 A = e^C 吸收了常數。瞧：一整族指數函數，每個起始值 A 對應一條曲線。請注意，正是分離變數*逼出*了指數——dy/y 的積分是對數，而解開對數恰好召喚出 e^{k x}。這條增長律不是假設來的；它是積分的必然結果。

全微分性：一個隱藏的二元函數

現在把一階方程寫成微分形式：M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0。巧妙的念頭是問：這個左邊，是不是某個函數 F(x, y) 的全微分？回憶多元微積分中，全微分是 dF = (partial F / partial x) dx + (partial F / partial y) dy。如果我們的 M 恰好就是 partial F / partial x、N 恰好就是 partial F / partial y，那麼方程就只是說 dF = 0——而一個微分恆為零的函數必是常數。整個解就是 F(x, y) = C，一族等值線。無需分離變數。

可是在動手尋找 F 之前，你怎麼知道這樣一個 F 存在？這裡有個優雅的判據。若 F 足夠規整，它的二階混合偏導數相等：把 M = partial F / partial x 對 y 求導、把 N = partial F / partial y 對 x 求導，必須得到同一個東西。所以方程是全微分（恰當）方程，當且僅當 partial M / partial y = partial N / partial x。這是一行計算——求兩個偏導，看它們是否相等。一旦相等，F 必定存在（在任何單連通區域上），而恰當形式這個詞正是抽象地命名了這一性質。

  1. 把方程寫成 M dx + N dy = 0，並檢驗恰當性：確認 partial M / partial y 等於 partial N / partial x。若不相等，它（暫時）不是全微分方程。
  2. 對 x 積分 M 以還原 F，把 y 當常數看：F = M 對 x 的積分 + g(y)，其中未知的 g(y) 是這次積分的「常數」（它可以依賴 y）。
  3. 把這個 F 對 y 求導，並令其等於 N。這就定出了 g'(y)；再積分一次得到 g(y)，於是 F 到手。
  4. 寫出隱式解 F(x, y) = C。一個初始條件定下那唯一的常數 C，從這族曲線裡挑出其中一條等值線。

當它不恰當時：積分因子

大多數方程通不過恰當性檢驗——但通不過並不是終點。竅門是給整個方程乘上一個精心挑選的函數 mu(x, y)，即積分因子，使得*新*方程 mu M dx + mu N dy = 0 變得恰當，儘管舊方程並不恰當。你並沒有改動解曲線——給兩邊乘一個非零因子，絲毫不動 M dx + N dy = 0 這個關係本身——你只是把方程重新包裝成原函數能吞下的形狀。

在完全一般的情形下找 mu 很難——它滿足一個和你出發點一樣棘手的偏微分方程。但有兩個幸運的情形能救場，也正是值得記住的兩個。若組合 (partial M / partial y - partial N / partial x) / N 只依賴 x，則 mu 只是 x 的函數，一次積分即可求出。若反過來 (partial N / partial x - partial M / partial y) / M 只依賴 y，則 mu 只依賴 y。無論哪種，你都把一個雙變數的謎題化簡成了一個單變數的積分。

Not exact:  M dx + N dy = 0   with   dM/dy  !=  dN/dx

Case 1:  (dM/dy - dN/dx) / N  depends on x only
            mu(x) = exp( integral of [(dM/dy - dN/dx)/N] dx )

Case 2:  (dN/dx - dM/dy) / M  depends on y only
            mu(y) = exp( integral of [(dN/dx - dM/dy)/M] dy )

Multiply through by mu  ->  now exact  ->  solve as F(x,y) = C
兩種標準積分因子：每一種都把尋找 mu 化成一個普通積分。

為什麼這些方法是表親

這些想法並非三個各自為政的花招，而是同一個想法披著三件外衣。一個可分離方程 g(x) h(y) - dy/dx = 0，寫成 g(x) dx - dy/h(y) = 0 時，自動就是恰當的——這正是你能對每一邊各自積分的原因。而積分因子是通用的修復工具：正是同一個裝置，在緊接著的下一篇裡，馴服了線性一階方程 dy/dx + P(x) y = Q(x)，那裡的因子恰好是乾淨的 mu = e^{integral of P dx}。把分離、恰當、線性看成同一家族，正是讓一階理論顯得融貫、而非一袋零散配方的關鍵。

恰當性還帶來一份幾何上的紅利。因為解是一族等值線 F(x, y) = C，你立刻就知道一族夥伴曲線：與那些等值線處處直角相交的曲線，即正交軌線。把每個斜率換成它的負倒數，再解這個新方程，你就免費得到了等勢線對應的場線——這正是熱流與等溫線之間、或電流與等壓線之間的關係。於是一個 F(x, y) 一舉承載了兩族彼此咬合的曲線。