從兩扇門到無窮多扇門
在第一卷裡，單變量函數的極限恰好只有兩扇門。要說 f(x) 當 x 趨於 a 時的極限等於 L，你只需檢查左趨近與右趨近是否一致：從下方進來，從上方進來，若兩者都落在 L 上，就完事了。整條實數軸對一個點只提供兩側。正是這種利落的記賬，使得單側極限幾乎能了結第一年微積分裡的一切。
現在把圖景抬進平面。函數 f(x, y) 活在一張平鋪的紙面上，而像 (0, 0) 這樣的點不再被釘在兩個鄰居之間——它坐在整張圓盤的正中央。你可以沿 x 軸筆直走向它，或沿 y 軸，或沿任意斜線，或盤旋著沿一條曲線進來，或沿一條拋物線搖擺著進來。逼近的方式不是兩種，而是無窮多種。[[limit-of-a-function-of-several-variables|多元函數的極限]]要求其中每一條逼近路徑都給出同一個值 L。
嚴格地說，f(x, y) 當 (x, y) 趨於 (a, b) 時的極限為 L，是指：只要讓點離 (a, b) 足夠近，你就能迫使 f 停留在 L 的任意容差之內。衡量「近」的天然尺子是距離 sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2)。這與從前一樣是那個epsilon-delta 承諾——對每個 epsilon 都有一個 delta——只不過「足夠近」如今指落在一個小圓盤內，而非一個小區間內。無論點以何種方式進入這圓盤，承諾都必須成立。
意外：直線都一致，極限卻仍不存在
這裡有一個每個人都會上一次當的陷阱。考慮原點附近的 f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)。沿 x 軸走進來（令 y = 0），函數一路都是 0 / x^2 = 0——沿這條路的極限是 0。沿 y 軸走進來（令 x = 0），又得到 0。試任意一條直線 y = mx，你也許又指望得到 0。那麼極限等於 0 嗎？很想說是——但這是錯的。
把 y = mx 代入公式。分子 xy = m x^2；分母 x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2)。x^2 約掉，剩下 m / (1 + m^2)——一個依賴於斜率的常數。沿 y = x（斜率 m = 1）逼近，f 一路都停在 1/2。沿 x 軸（斜率 0）逼近，f 一路都停在 0。兩條不同的直路，兩個不同的終點。因為答案隨方向而變，原點處的二元極限根本不存在。這正是[[path-dependence-of-limits|路徑依賴]]的核心。
證明極限確實存在
如果試路徑只能推翻極限，那要怎樣證明極限存在？你要一次性地把整個函數夾住，完全不提方向。最乾淨的工具是多元夾逼定理：把 |f(x, y) - L| 夾在 0 與某個你能證明隨距離 r = sqrt(x^2 + y^2) 趨於 0 而趨於 0 的量之間。若這個上界只依賴於 r 且趨於 0，那麼每條路徑都被同時夾向 L，因為每條路徑都使 r 趨於 0。
看它在 h(x, y) = x^2 y / (x^2 + y^2) 上如何奏效，這函數看著險些就是那個失敗的函數。因為 x^2 永不大於 x^2 + y^2，分式 x^2 / (x^2 + y^2) 至多為 1。於是 |h| = |y| 乘以這分式，至多為 |y|。而 |y| 至多為 r，即到原點的距離。因此 0 <= |h(x, y)| <= r，當 r 趨於 0 時，夾逼把 h 逼向 0。全程未提任何方向，所以沿每條路徑極限都是 0。這個函數在原點真正連續；上一節那個近乎孿生的函數則不然。
第二個技巧是改用極坐標：寫 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)。如今 (x, y) 趨於原點恰好就是 r 趨於 0，而 theta 可任取——theta 攜帶了方向資訊。代入後，若表達式坍縮成被 r 的某次冪所界、且 theta 的依賴被困在 cos(theta)、sin(theta) 這類有界因子裡的東西，則極限存在，等於 r 趨於 0 那部分給出的值。反之，若 theta 拒絕消去——若 r 約掉後答案仍依賴 theta——你就當場暴露了路徑依賴，極限不存在。
如今連續意味著什麼
理解了極限，[[continuity-of-several-variables|多元函數的連續]]讀起來就和單變量時一模一樣，只是換上了新型的極限。函數 f 在 (a, b) 處連續，要三件事對齊：f 在 (a, b) 處確有定義；f 當 (x, y) 趨於 (a, b) 時的極限存在；且這極限等於函數值 f(a, b)。沒有突兀的跳躍，沒有能掉進去的洞——曲面從每個方向同時平滑地與自身的值相接。
好消息是，這一群失敗幾乎全都聚集在分母為零的少數特殊點上。其餘處處，連續的尋常代數原封不動地搬過來：連續函數的和、積、商（避開分母為零處）以及複合都連續。x 與 y 的多項式在整個平面上連續；sin(x + y)、e^{xy}、sqrt(1 + x^2 + y^2) 在各自有定義處都連續。你只需在那些孤立的麻煩點放慢、用力思考——通常是分式讀作 0/0 的地方。
f continuous at (a,b) requires all three: 1. f(a,b) is defined 2. lim (x,y)->(a,b) f(x,y) exists <- the hard one: EVERY path 3. the limit = f(a,b) repair a 0/0 hole? define f(a,b) := the limit, IF the limit exists
為何這關乎之後的一切
這不是趣聞——它是整個臺階的基岩。回想第一卷：偏導數在凍結其餘變量的同時取極限，所以它永遠只感知無窮多方向中的兩個：沿 x 與沿 y。這正是為何偏導數可以在某點存在，而函數在那裡甚至不連續。病態的 xy/(x^2 + y^2) 在原點兩個偏導數都等於 0，可它在那裡根本沒有極限。單憑偏導數，是個軟弱的、被坐標軸束縛的探針。
下一篇修補的正是這道缺口。真正的[[differentiability-several-variables|多元可微]]是個強得多、不挑方向的條件：它要求單單一張平面從每個方向同時把曲面逼近得很好，誤差比距離 r 衰減得更快。連續是這強條件所立足的地板——在某點可微的函數在那裡自動連續，反過來絕不成立。在這裡把「每一條路徑」的直覺刻進骨子裡，之後各篇裡的全導數、雅可比矩陣和完整鏈式法則，就會像自然的下一步，而非新的謎團。